Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/EGMO/IMO, 2017

Soteris · #1

Πρόβλημα 1

Δίνονται πραγματικοί αριθμοί $\displaystyle{a, b}$ τέτοιοι, ώστε $\displaystyle{a+b=1}$ και $\displaystyle{a^2+b^2=7}$ . Να αποδείξετε ότι ο αριθμός $\displaystyle{a^{10}+b^{10}}$ είναι θετικός ακέραιος και να υπολογίσετε το άθροισμα των τετραγώνων των ψηφίων του.

Πρόβλημα 2

Δύο κυβικές δεξαμενές γεμάτες νερό έχουν ακμές τους ακέραιους αριθμούς $\displaystyle{k, \lambda}$ , που είναι τέτοιοι ώστε $\displaystyle{k^2+\lambda^2=p}$ , όπου $\displaystyle{p}$ πρώτος αριθμός. Αν από κάθε δεξαμενή αφαιρέσουμε $\displaystyle{2}$ κυβικές μονάδες νερού, η αριθμητική τιμή του όγκου του νερού που απομένει και στις δύο δεξαμενές διαιρείται με τον $\displaystyle{p}$ . Να βρείτε όλα τα δυνατά ζεύγη $\displaystyle{(k, \lambda)}$ .

Πρόβλημα 3

Δίνεται το σύνολο $\displaystyle{S=\{x_1, x_2, x_3, x_4, x_5\}}$ πέντε πραγματικών αριθμών. Σχηματίζουμε όλα τα υποσύνολα $\displaystyle{S_i, i\in\{1, 2, 3, \ldots, k\}}$ του $\displaystyle{S}$ με τρία στοιχεία. Αν η διαφορά του αθροίσματος των στοιχείων κάθε υποσυνόλου $\displaystyle{S_i}$ πλην το άθροισμα των στοιχείων του $\displaystyle{S}$ που δεν ανήκουν στο υποσύνολο $\displaystyle{S_i}$ είναι θετικός αριθμός,

(α) να βρείτε την τιμή του $\displaystyle{k}$ και

(β) να αποδείξετε ότι το γινόμενο όλων των δυνατών διαφορών που σχηματίζονται είναι μικρότερο ή ίσο από το γινόμενο των τετραγώνων των πέντε στοιχείων του συνόλου $\displaystyle{S}$ .

Πρόβλημα 4

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο $\displaystyle{\vartriangle{\rm{AB\Gamma}}}$ , με $\displaystyle{\rm{A\Delta, BE, \Gamma Z}}$ τα ύψη του (τα σημεία $\displaystyle{\rm{\Delta, E, Z}}$ είναι τα ίχνη των υψών πάνω στις πλευρές $\displaystyle{\rm{B\Gamma, A\Gamma, AB}}$ , αντίστοιχα) και $\displaystyle{\rm{H}}$ το σημείο τομής των υψών του τριγώνου. Φέρουμε την ευθεία $\displaystyle{(\varepsilon)}$ που διέρχεται από τα σημεία $\displaystyle{\rm{Z}}$ και $\displaystyle{\rm{\Delta}}$ . Πάνω στην $\displaystyle{(\varepsilon)}$ παίρνουμε σημεία $\displaystyle{\rm{K}}$ και $\displaystyle{\rm{\Lambda}}$ , τέτοια ώστε το ύψος $\displaystyle{\rm{\Gamma Z}}$ να διέρχεται από το μέσο του τμήματος $\displaystyle{\rm{KE}}$ και το ύψος $\displaystyle{\rm{A\Delta}}$ να διέρχεται από το μέσο του τμήματος $\displaystyle{\rm{\Lambda E}}$ . Αν $\displaystyle{\rm{M}}$ είναι το σημείο τομής των ευθειών $\displaystyle{\rm{KE}}$ και $\displaystyle{\rm{A\Delta}}$ , και $\displaystyle{\rm{N}}$ είναι το σημείο τομής των ευθειών $\displaystyle{\rm{\Lambda E}}$ και $\displaystyle{\rm{\Gamma Z}}$ , να αποδείξετε ότι:

(α) $\displaystyle{\angle{\rm{NMA}}=\angle{\rm{EB\Gamma}}}$

(β) τα σημεία $\displaystyle{\rm{N, \Lambda, H, K, M}}$ είναι ομοκυκλικά

(γ) το δεύτερο σημείο τομής των περιγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων $\displaystyle{\vartriangle{\rm{N\Lambda H}}, \vartriangle{\rm{E\Gamma H}}}$ είναι το σημείο $\displaystyle{\rm{K}}$ .

JimNt. · #2

Soteris έγραψε:Πρόβλημα 1

Δίνονται πραγματικοί αριθμοί $\displaystyle{a, b}$ τέτοιοι, ώστε $\displaystyle{a+b=1}$ και $\displaystyle{a^2+b^2=7}$ . Να αποδείξετε ότι ο αριθμός $\displaystyle{a^{10}+b^{10}}$ είναι θετικός ακέραιος και να υπολογίσετε το άθροισμα των τετραγώνων των ψηφίων του.

Εϊναι $A= a^{10}+b^{10}=(a^2+b^2)(a^8-a^6b^2+a^4b^4-a^2b^6+b^8)$ . Έχουμε $\boxed{a+b=1}$ (1)

, $\boxed{a^2+b^2=7}$ (2)

.

$\Leftrightarrow$ $\boxed{ab=-3}$ (3)

,

\displaystyle{->} $\boxed{a^4+b^4=31}$ (4)

,

$\boxed{a^8+b^8=31^2-3^4*2=799}$ (5)

. Συνεπώς, από τις (2),...(5)

παίρνουμε $\boxed{A=7(799+3^4-a^2b^2(a^4+b^4))=7(799+3^4-9*31)=4207}$ , που είναι ακέραιος και το ζητούμενο $\boxed{S=16+4+49=69}$ . Ελπίζω να μην έχω κάνει λάθος στις πράξεις...

#3

Soteris έγραψε:...
Πρόβλημα 4

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο $\displaystyle{\vartriangle{\rm{AB\Gamma}}}$ , με $\displaystyle{\rm{A\Delta, BE, \Gamma Z}}$ τα ύψη του (τα σημεία $\displaystyle{\rm{\Delta, E, Z}}$ είναι τα ίχνη των υψών πάνω στις πλευρές $\displaystyle{\rm{B\Gamma, A\Gamma, AB}}$ , αντίστοιχα) και $\displaystyle{\rm{H}}$ το σημείο τομής των υψών του τριγώνου. Φέρουμε την ευθεία $\displaystyle{(\varepsilon)}$ που διέρχεται από τα σημεία $\displaystyle{\rm{Z}}$ και $\displaystyle{\rm{\Delta}}$ . Πάνω στην $\displaystyle{(\varepsilon)}$ παίρνουμε σημεία $\displaystyle{\rm{K}}$ και $\displaystyle{\rm{\Lambda}}$ , τέτοια ώστε το ύψος $\displaystyle{\rm{\Gamma Z}}$ να διέρχεται από το μέσο του τμήματος $\displaystyle{\rm{KE}}$ και το ύψος $\displaystyle{\rm{A\Delta}}$ να διέρχεται από το μέσο του τμήματος $\displaystyle{\rm{\Lambda E}}$ . Αν $\displaystyle{\rm{M}}$ είναι το σημείο τομής των ευθειών $\displaystyle{\rm{KE}}$ και $\displaystyle{\rm{A\Delta}}$ , και $\displaystyle{\rm{N}}$ είναι το σημείο τομής των ευθειών $\displaystyle{\rm{\Lambda E}}$ και $\displaystyle{\rm{\Gamma Z}}$ , να αποδείξετε ότι:

(α) $\displaystyle{\angle{\rm{NMA}}=\angle{\rm{EB\Gamma}}}$

(β) τα σημεία $\displaystyle{\rm{N, \Lambda, H, K, M}}$ είναι ομοκυκλικά

(γ) το δεύτερο σημείο τομής των περιγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων $\displaystyle{\vartriangle{\rm{N\Lambda H}}, \vartriangle{\rm{E\Gamma H}}}$ είναι το σημείο $\displaystyle{\rm{K}}$ .

: Πρόβλημα 4.png (30.04 KiB) Προβλήθηκε 2358 φορές

1) Από την κατασκευή με γνωστό ότι τα ύψη τριγώνου είναι διχοτόμοι του ορθικού τριγώνου του μεσοκάθετες των αντίστοιχα.

Έτσι είναι οι φορείς των δύο υψών (και) του τριγώνου $\vartriangle MEN \Rightarrow BE \bot MN\mathop \Rightarrow \limits^{AM \bot BC} \boxed{\angle NMA = \angle EBC}$ .

2) $\angle HLE\mathop = \limits^{\sigma \upsilon \mu \mu \varepsilon \tau \rho \iota \alpha } \angle LEH\mathop = \limits^{LE \bot MH,HE \bot MN}$ $\angle HMH \Rightarrow N,L,H,M$ ομοκυκλικά . Με όμοιο τρόπο προκύπτει ότι

είναι ομοκυκλικά και τελικά ομοκυκλικά.

3) Προφανώς ομοκυκλικά $\left( \angle AZH=\angle AEH={{90}^{0}} \right)$ . Είναι

$\angle ZLH \equiv \angle KLH\mathop = \limits^{M,K,H,Lo\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha } \angle HMK \equiv \angle AMK$ $\mathop = \limits^{AZ\parallel MK\left( {AZ \bot CZ,MK \bot CZ} \right)} \angle ZAH\mathop = \limits^{A,Z,H,Eo\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha }$ $\angle ZEH \Rightarrow E,H,Z,L,\left( A \right)$

ομοκυκλικά και όλα τα ζητούμενα έχουν αποδειχθεί.

Στάθης

Datis-Kalali · #4

Για το προβλημα 2

$\lambda^2+k^2 \vert k^3-2-(\lambda^3-2)=k^3-\lambda^3=(k-\lambda)(k^2+\lambda^2+\lambda k)$
Επειδη $\lambda^2+k^2$ ειναι πρωτος θα εχουμε $\lambda^2+k^2 \vert k-\lambda$ η $\lambda^2+k^2 \vert k^2+\lambda^2+\lambda k$ . Τοτε $\lambda^2+k^2 \vert \lambda k$ που ειναι ατοπο επειδη κ,λ ειναι θετικοι (ακμες του κυβου)
και εχουμε $\lambda^2+ k^2 > \lambda k$ . Αρα δεν εχουμε λυσεις.
Δατης Καλαλη, Γ' γυμνασιου Κυπρος

#5

Soteris έγραψε: Πρόβλημα 3

Δίνεται το σύνολο $\displaystyle{S=\{x_1, x_2, x_3, x_4, x_5\}}$ πέντε πραγματικών αριθμών. Σχηματίζουμε όλα τα υποσύνολα $\displaystyle{S_i, i\in\{1, 2, 3, \ldots, k\}}$ του $\displaystyle{S}$ με τρία στοιχεία. Αν η διαφορά του αθροίσματος των στοιχείων κάθε υποσυνόλου $\displaystyle{S_i}$ πλην το άθροισμα των στοιχείων του $\displaystyle{S}$ που δεν ανήκουν στο υποσύνολο $\displaystyle{S_i}$ είναι θετικός αριθμός,

(α) να βρείτε την τιμή του $\displaystyle{k}$ και

(β) να αποδείξετε ότι το γινόμενο όλων των δυνατών διαφορών που σχηματίζονται είναι μικρότερο ή ίσο από το γινόμενο των τετραγώνων των πέντε στοιχείων του συνόλου $\displaystyle{S}$ .

(α) Είναι $k = \binom{5}{3} = 10$ .

(β) Δεν θα χρησιμοποιήσω καν το δεδομένο ότι οι διαφορές είναι θετικές.

Ας γράψουμε f(S_i)

για την διαφορά του αθροίσματος των στοιχείων με το άθροισμα που δεν ανήκουν στο S_i

.

Αν τώρα $S_i \cap S_j = \{x\}$ , τότε f(S_i)+f(S_j) = 2x

και άρα $x^2 \geqslant f(S_i)f(S_j)$

Για κάθε $x \in S$ υπάρχουν $\binom{4}{2}=3$ ζεύγη $\{S_i,S_j\}$ ώστε $S_i \cap S_j = \{x\}$ . Επιπλέον για κάθε S_i

υπάρχουν

υποσύνολα

ώστε $|S_i \cap S_j| = 1$ . (Επιλέγουμε το κοινό στοιχείο. Μετά το S_j

καθορίζεται πλήρως αφού πρέπει επίσης να περιέχει τα άλλα δύο στοιχεία του

που δεν ανήκουν στο S_i

.)

Άρα πολλαπλασιάζοντας τις ανισότητες της μορφής $x^2 \geqslant f(S_i)f(S_j)$ για όλα τα ζεύγη $\{S_i,S_j\}$ με ένα κοινό στοιχείο παίρνουμε

$\displaystyle{ x_1^6 \cdots x_5^6 \geqslant f(S_1)^3 \cdots f(S_{10})^3}$

ή ισοδύναμα

$\displaystyle{ x_1^2 \cdots x_5^2 \geqslant f(S_1) \cdots f(S_{10})}$

όπως θέλαμε να δείξουμε.

#6

Datis-Kalali έγραψε:Για το προβλημα 2

$\lambda^2+k^2 \vert k^3-2-(\lambda^3-2)=k^3-\lambda^3=(k-\lambda)(k^2+\lambda^2+\lambda k)$
Επειδη $\lambda^2+k^2$ ειναι πρωτος θα εχουμε $\lambda^2+k^2 \vert k-\lambda$ η $\lambda^2+k^2 \vert k^2+\lambda^2+\lambda k$ . Τοτε $\lambda^2+k^2 \vert \lambda k$ που ειναι ατοπο επειδη κ,λ ειναι θετικοι (ακμες του κυβου)
και εχουμε $\lambda^2+ k^2 > \lambda k$ . Αρα δεν εχουμε λυσεις.
Δατης Καλαλη, Γ' γυμνασιου Κυπρος

Η συνθήκη λέει ότι $p|(\kappa^3+\lambda^3-4)$ όχι ότι $p|(\kappa^3-\lambda^3)$ .

#7

Soteris έγραψε:Πρόβλημα 2

Δύο κυβικές δεξαμενές γεμάτες νερό έχουν ακμές τους ακέραιους αριθμούς $\displaystyle{k, \lambda}$ , που είναι τέτοιοι ώστε $\displaystyle{k^2+\lambda^2=p}$ , όπου $\displaystyle{p}$ πρώτος αριθμός. Αν από κάθε δεξαμενή αφαιρέσουμε $\displaystyle{2}$ κυβικές μονάδες νερού, η αριθμητική τιμή του όγκου του νερού που απομένει και στις δύο δεξαμενές διαιρείται με τον $\displaystyle{p}$ . Να βρείτε όλα τα δυνατά ζεύγη $\displaystyle{(k, \lambda)}$ .

Επαναφορά!

harrisp · #8

socrates έγραψε:
Soteris έγραψε:Πρόβλημα 2

Δύο κυβικές δεξαμενές γεμάτες νερό έχουν ακμές τους ακέραιους αριθμούς $\displaystyle{k, \lambda}$ , που είναι τέτοιοι ώστε $\displaystyle{k^2+\lambda^2=p}$ , όπου $\displaystyle{p}$ πρώτος αριθμός. Αν από κάθε δεξαμενή αφαιρέσουμε $\displaystyle{2}$ κυβικές μονάδες νερού, η αριθμητική τιμή του όγκου του νερού που απομένει και στις δύο δεξαμενές διαιρείται με τον $\displaystyle{p}$ . Να βρείτε όλα τα δυνατά ζεύγη $\displaystyle{(k, \lambda)}$ .
Επαναφορά!

Οι επίσημες λύσεις:

http://www.cms.org.cy/assets/files/2016 ... %20NEW.pdf

Υπάρχει κάτι πιο σύντομο;

#9

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:
socrates έγραψε:
Soteris έγραψε:Πρόβλημα 2

Δύο κυβικές δεξαμενές γεμάτες νερό έχουν ακμές τους ακέραιους αριθμούς $\displaystyle{k, \lambda}$ , που είναι τέτοιοι ώστε $\displaystyle{k^2+\lambda^2=p}$ , όπου $\displaystyle{p}$ πρώτος αριθμός. Αν από κάθε δεξαμενή αφαιρέσουμε $\displaystyle{2}$ κυβικές μονάδες νερού, η αριθμητική τιμή του όγκου του νερού που απομένει και στις δύο δεξαμενές διαιρείται με τον $\displaystyle{p}$ . Να βρείτε όλα τα δυνατά ζεύγη $\displaystyle{(k, \lambda)}$ .
Επαναφορά!
Οι επίσημες λύσεις:

http://www.cms.org.cy/assets/files/2016 ... %20NEW.pdf

Υπάρχει κάτι πιο σύντομο;

Δε νομίζω, Χάρη! Όλες οι λύσεις χρησιμοποιούν κάποιες περιπτώσεις:

https://artofproblemsolving.com/communi ... n%5E3-4%22

Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/EGMO/IMO, 2017

Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/EGMO/IMO, 2017

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/EGMO/IMO, 2017

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/EGMO/IMO, 2017

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/EGMO/IMO, 2017

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/EGMO/IMO, 2017

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/EGMO/IMO, 2017

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/EGMO/IMO, 2017

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/EGMO/IMO, 2017

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/EGMO/IMO, 2017

Μέλη σε σύνδεση