Ολικό μέγιστο

#1

Έστω η συνεχής συνάρτηση $f:\left[ a,b \right]\to R$ πραγματικής μεταβλητής με ${f}''\left( x \right)\ne 0,\forall x\in \left( a,b \right)$ . Αν υπάρχει $c\in \left( a,b \right)$ ώστε: $f\left( c \right)<f\left( a \right)<f\left( b \right)$ ,
να δειχθεί ότι $f\left( b \right)$ είναι το ολικό της μέγιστο

Στάθης

#2

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:Έστω η συνεχής συνάρτηση $f:\left[ a,b \right]\to R$ πραγματικής μεταβλητής με ${f}''\left( x \right)\ne 0,\forall x\in \left( a,b \right)$ . Αν υπάρχει $c\in \left( a,b \right)$ ώστε: $f\left( c \right)<f\left( a \right)<f\left( b \right)$ ,
να δειχθεί ότι $f\left( b \right)$ είναι το ολικό της μέγιστο

Στάθης

...για το γητευτή της Γεωμετίας και φίλο Στάθη....

Επειδή υπάρχει τιμή της

στο $\left[ a,b \right]$ μικρότερη των τιμών της που παίρνει στα άκρα λόγω του

$f\left( c \right)<f\left( a \right)<f\left( b \right)$ την ελάχιστη τιμή της η

στο $\left[ a,b \right]$

θα την παίρνει σε κάποιο ${{x}_{1}}\in \left( a,b \right)$ και λόγω Fermat θα είναι ${f}'({{x}_{1}})=0$

Τώρα αν παίρνει και την μέγιστη τιμή της σε κάποιο ${{x}_{2}}\in \left( a,b \right)$ λόγω Fermat θα είναι ${f}'({{x}_{2}})=0$ και αφού

{f}'

παραγωγίσιμη σύμφωνα με το θεώρημα του Rolle στο διάστημα που ορίζουν τα ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \left( a,b \right)$ η

${f}''\left( x \right)=0$ θα έχει ρίζα που είναι άτοπο λόγω υπόθεσης , άρα αναγκαία την μέγιστη τιμή της

την παίρνει στα άκρα του διαστήματος και επειδή $f\left( a \right)<f\left( b \right)$ το $f\left( b \right)$ είναι το ολικό της μέγιστο.

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Ολικό μέγιστο

Ολικό μέγιστο

Re: Ολικό μέγιστο

Μέλη σε σύνδεση