Σταθερό γινόμενο

KARKAR · #1

: Σταθερό γινόμενο.png (8.78 KiB) Προβλήθηκε 1225 φορές

Τα τεταρτοκύκλια $O\overset{\frown}{AB} ,O\overset{\frown}{CD}$ σχεδιάστηκαν στην ίδια ορθή γωνία $\hat{O}$ και το

,

είναι το συμμετρικό του

, ως προς

. Το σημείο

κινείται στο εξωτερικό τόξο

και η A'S

τέμνει το μικρό τεταρτοκύκλιο στο

. Δείξτε ότι το γινόμενο $PA'\cdot PS$

παραμένει σταθερό . Παρακαλείσθε για λύσεις με ύλη Γυμνασίου ( η ύλη του Λυκείου

που πιθανόν να σκεφθήκατε , δεν διδάσκεται πια

)

#2

KARKAR έγραψε:Σταθερό γινόμενο.pngΤα τεταρτοκύκλια $O\overset{\frown}{AB} ,O\overset{\frown}{CD}$ σχεδιάστηκαν στην ίδια ορθή γωνία $\hat{O}$ και το ,

είναι το συμμετρικό του , ως προς . Το σημείο κινείται στο εξωτερικό τόξο

και η τέμνει το μικρό τεταρτοκύκλιο στο . Δείξτε ότι το γινόμενο $PA'\cdot PS$

παραμένει σταθερό . Παρακαλείσθε για λύσεις με ύλη Γυμνασίου ( η ύλη του Λυκείου

που πιθανόν να σκεφθήκατε , δεν διδάσκεται πια )

: σταθερό γινόμενο_Karkar_30_1_17.png (23.58 KiB) Προβλήθηκε 1206 φορές

Δύο φορές Π.Θ. και μετά αφαίρεση κατά μέλη

Δηλαδή :

$\left\{ \begin{gathered} {R^2} = {d^2} + {(x + y)^2} \hfill \\ {r^2} = {d^2} + {x^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow {R^2} - {r^2} = {(x + y)^2} - {x^2}$ και άρα

${R^2} - {r^2} = y(2x + y) = SP \cdot PA'$

Φιλικά, Νίκος

#3

KARKAR έγραψε:Σταθερό γινόμενο.pngΤα τεταρτοκύκλια $O\overset{\frown}{AB} ,O\overset{\frown}{CD}$ σχεδιάστηκαν στην ίδια ορθή γωνία $\hat{O}$ και το ,

είναι το συμμετρικό του , ως προς . Το σημείο κινείται στο εξωτερικό τόξο

και η τέμνει το μικρό τεταρτοκύκλιο στο . Δείξτε ότι το γινόμενο $PA'\cdot PS$

παραμένει σταθερό . Παρακαλείσθε για λύσεις με ύλη Γυμνασίου ( η ύλη του Λυκείου

που πιθανόν να σκεφθήκατε , δεν διδάσκεται πια )

Χαιρετώ!

: Σταθερό γινόμενο.png (16.17 KiB) Προβλήθηκε 1200 φορές

Έστω

η προβολή του

στην

Τα τρίγωνα A'PE, A'AS

είναι όμοια.

$\displaystyle{\frac{{R + x}}{{SP + A'P}} = \frac{{A'P}}{{2R}} \Leftrightarrow 2{R^2} + 2Rx = A'P \cdot SP + A'{P^2} = A'P \cdot SP + {(R + x)^2} + P{E^2} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{2{R^2} + 2Rx = A'P \cdot SP + {(R + x)^2} + {r^2} - {x^2} \Leftrightarrow }$ $\boxed{A'P \cdot SP = {R^2} - {r^2}}$

KARKAR · #4

Ενώ με ύλη Λυκείου θα γράφαμε : $PA'\cdot PS= R^2-r^2$ ,

( δύναμη σημείου

, ως προς τον κύκλο (O,R)

)

#5

KARKAR έγραψε:Ενώ με ύλη Λυκείου θα γράφαμε : $PA'\cdot PS= R^2-r^2$ ,

( δύναμη σημείου , ως προς τον κύκλο )

Είδες οι "φωστήρες" του υπουργείου πόσο πιο απλά τα έκανα τα μαθηματικά !

Φιλικά, Νίκος

Σταθερό γινόμενο

Σταθερό γινόμενο

Re: Σταθερό γινόμενο

Re: Σταθερό γινόμενο

Re: Σταθερό γινόμενο

Re: Σταθερό γινόμενο

Μέλη σε σύνδεση