Γινόμενο χορδών

hlkampel · #1

Δίνεται κανονικό οκτάγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta {\rm E}{\rm Z}{\rm H}\Theta$ εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας

.

Να δείξετε ότι το γινόμενο των χορδών με το ένα άκρο τους το ${\rm A}$ ισούται με

.

#2

Μια απόδειξη εκτός φακέλου.

Μπορούμε να υποθέσουμε ότι οι κορυφές του κανονικού οκταγώνου είναι οι εικόνες των ριζών του πολυωνύμου $\displaystyle{f(z)=z^8-1}$ και ότι το σημείο $\displaystyle{A}$ είναι η εικόνα του $\displaystyle{1}$ .

Ας είναι $\displaystyle{z_2,z_3,...z_8}$ οι υπόλοιπες επτά ρίζες. Είναι τότε

$\displaystyle{f(z)=(z-1)\prod_{j=2}^{8}(z-z_j)}$

οπότε

$\displaystyle{\prod_{j=2}^{8}(z-z_j)=\frac{f(z)}{z-1}.}$

Με όριο στο $\displaystyle{1}$ προκύπτει

$\displaystyle{\prod_{j=2}^{8}(1-z_j)=f'(1)=8}$

και παίρνοντας μέτρα προκύπτει η ζητούμενη.

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #3

hlkampel έγραψε:Δίνεται κανονικό οκτάγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta {\rm E}{\rm Z}{\rm H}\Theta$ εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας .

Να δείξετε ότι το γινόμενο των χορδών με το ένα άκρο τους το ${\rm A}$ ισούται με .

Από τη λύση της άσκησης εδώ έχουμε ότι το γινόμενο είναι ίσο με:

$AB^2 \cdot AC^2 \cdot AD^2 \cdot AE = (2-\sqrt{2})R^2 \cdot 2R^2 \cdot (2+\sqrt{2})R^2 \cdot 2R =$ $4(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})R^7=8R^7$

Ιστοσελίδα · #4

hlkampel έγραψε:Δίνεται κανονικό οκτάγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta {\rm E}{\rm Z}{\rm H}\Theta$ εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας .

Να δείξετε ότι το γινόμενο των χορδών με το ένα άκρο τους το ${\rm A}$ ισούται με .

Καλημέρα. Περιοριζόμαστε στο μισό σχήμα λόγω συμμετρίας.

: Γινόμενο-χορδών.png (25.72 KiB) Προβλήθηκε 1041 φορές

$\begin{array}{l} {\rm A}{{\rm B}^2} = 4\eta {\mu ^2}22,5\\ {\rm A}{\Gamma ^2} = 2\\ {\rm A}{\Delta ^2} = 4\sigma \upsilon {\nu ^2}22,5\\ {\rm A}{\rm E} = 2 \end{array}$

Με πολλαπλασιασμό κατά μέλη και με αντικατάσταση, από τη σχέση $\dfrac{1}{2} = \eta {\mu ^2}45 = 4(\eta {\mu ^2}22,5)(\sigma \upsilon {\nu ^2}22,5)$ , προκύπτει το ζητούμενο.

nikkru · #5

hlkampel έγραψε:Δίνεται κανονικό οκτάγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta {\rm E}{\rm Z}{\rm H}\Theta$ εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας .

Να δείξετε ότι το γινόμενο των χορδών με το ένα άκρο τους το ${\rm A}$ ισούται με .

: Γινόμενο χορδών.png (18.44 KiB) Προβλήθηκε 979 φορές

Είναι $A\Theta =ZE\,,\,Z\Delta \bot AE$ και $AH=A\Gamma =Z\Delta =\lambda _{4}=\sqrt{2}$ .

Οπότε $A\Theta \cdot AZ=ZE \cdot AZ=2(AZE)=(AZE\Delta) = \frac{AE\cdot Z \Delta }{2}=\sqrt{2}$ .

Και τελικά $AB\cdot A\Gamma \cdot A\Delta \cdot AE\cdot AZ\cdot AH\cdot A\Theta =(A\Theta \cdot AZ)^2(AH)^2\cdot AE=$ $(\sqrt{2})^2(\sqrt{2})^2 2=8$

Γινόμενο χορδών

Γινόμενο χορδών

Re: Γινόμενο χορδών

Re: Γινόμενο χορδών

Re: Γινόμενο χορδών

Re: Γινόμενο χορδών

Μέλη σε σύνδεση