ωραιο προβλημα θεωρια αριθμων (Ρουμανια 2005)

Datis-Kalali · #1

Να βρειτε ολα τα ζευγαρια των θετικων ακεριαων (x,y)

που ικανοποιουν την εξησωση¨
$3^x=2^x \cdot y +1$

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

Θέλουμε να ισχύει ότι:

2^x|3^x-1

Έστω η μέγιστη δύναμη του

που διαιρεί το

είναι

Από το θεώρημα LTE

, από το ότι 2^1||3-1

και

έχουμε ότι $2^{m+1+2-1}||3^x-1\Leftrightarrow 2^{m+2}||3^x-1$

Άρα πρέπει $2^{m+2}\geq 2^x$ .

Όμως $2^m\leq x\Leftrightarrow 2^{m+2}\leq 4x$

Πρέπει να ισχύει δηλαδή ότι:

$4x\geq 2^x\Leftrightarrow x\geq 2^{x-2}$ που ισχύει μόνο όταν $x\leq 4$

Η περίπτωση x=3

απορρίπτεται.

Μοναδικά ζεύγη λοιπόν είναι τα:

( x, y)=(1, 1), (2, 2), (4, 5)

JimNt. · #3

Datis-Kalali έγραψε:Να βρειτε ολα τα ζευγαρια των θετικων ακεριαων που ικανοποιουν την εξησωση¨
$3^x=2^x \cdot y +1$

Μια λύση ελπίζω σωστή. Είναι 3^x-1=2^xy

. Από

$\Leftrightarrow$ u_2(3^x-1)=u_2(x)+2

. Ας είναι x=2^ab

, όπου

φυσικός και

περιττός θετικός ακέραιος. Τότε πρέπει u^2(3^x-1)=a+2

. Και αφού 2^x|3^x-1

, πρέπει $a+2\ge 2^ab$ . Επαγωγικά δείχνουμε ότι για $a\ge3$ , έχουμε άτοπο. Συνεπώς, $a\le2$ . Για a=1

πρέπει $3\ge2b$ $\Leftrightarrow$ b=1

. Συνεπώς, έχουμε την λύση (x,y)=(2,2)

. Για

πρέπει $2\ge b$ . Συνεπώς, b=1

και έχουμε την λύση (x,y)=(1,1)

. Για

, πρέπει $4\ge 4b$ $\Leftrightarrow$ b=1

. Συνεπώς, (x,y)=(4,5)

. Επομένως, οι μόνες λύσεις είναι οι (x,y)=(1,1),(2,2),(4,5)

manousos · #4

Για $\displaystyle{x>1}$ έχουμε :

$\displaystyle{(3-1)(3^{x-1} + 3^{x-2} + ...+1 )= 2^{x}y\Leftrightarrow 3^{x-1} + 3^{x-2} + ...+1 = 2^{x-1}y}$

Όμως : $\displaystyle{LHS \equiv 0 (mod\: 2)\Leftrightarrow (x-1)*1 +1 \equiv 0 (mod\: 2)\Leftrightarrow x=2k , k\in \mathbb{N}}$

Άρα η εξίσωση γράφεται :

$\displaystyle{(3^k+1)(3^k-1)= 2^{2k}y}$ $\displaystyle{(1)}$

Παρατηρούμε ότι : $\displaystyle{gcd(3^k+1,3^k-1) \mid 2}$ και πως επαγωγικά ισχύει $\displaystyle{3^k+1 <2^{2k-1}}$ άρα και $\displaystyle{3^k-1 <2^{2k-1}}$ για $\displaystyle{k>2}$ , άρα για $\displaystyle{k>2}$ δεν έχουμε λύση για την $\displaystyle{(1)}$ σκεπτόμενοι την ανάλυση σε πρώτους παράγοντες του αριστερού και δεξιού μέλους της $\displaystyle{(1)}$ .

Τελικά προκύπτουν οι $\displaystyle{(x,y) = (1,1),(2,2),(4,5)}$

ωραιο προβλημα θεωρια αριθμων (Ρουμανια 2005)

ωραιο προβλημα θεωρια αριθμων (Ρουμανια 2005)

Re: ωραιο προβλημα θεωρια αριθμων (Ρουμανια 2005)

Re: ωραιο προβλημα θεωρια αριθμων (Ρουμανια 2005)

Re: ωραιο προβλημα θεωρια αριθμων (Ρουμανια 2005)

Μέλη σε σύνδεση