Συνδιαστική στα καλύτερά της!

JimNt. · #1

Δίνεται το σύνολο A={1,2,......,n}

, όπου

περιττός μεγαλύτερος ή ίσος του

. Από το

επιλέγουμε ακριβώς $[\frac{n}{2}]+1$ στοιχεία για την δημιουργία μιας διατεταγμένης $[\frac{n}{2}]+1$ -άδας. Αν στα στοιχεία αυτά δεν πρέπει να υπάρχουν

στοιχεία με άθροισμα

, να βρείτε με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει η δημιουργία της διατεταγμένης $[\frac{n}{2}]+1$ -άδας. Ας αφεθεί για μαθητές.

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

Ο τύπος νομίζω πως είναι:

$\displaystyle{2^{\lfloor \dfrac{n}{2} \rfloor} \cdot (\lfloor \dfrac{n}{2} \rfloor +1)!}$

Επανέρχομαι μετά το φαγητό...

JimNt. · #3

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:Ο τύπος νομίζω πως είναι:

$\displaystyle{2^{\lfloor \dfrac{n}{2} \rfloor} \cdot (\lfloor \dfrac{n}{2} \rfloor +1)!}$

Επανέρχομαι μετά το φαγητό...

Ακριβώς!

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #4

Χωρίζουμε όλα τα στοιχεία του

εκτός του τελευταίου σε $\lfloor \dfrac{n}{2} \rfloor$ ζευγάρια ως εξής:

$\{1, n-1\}, \{2, n-2\}, \ldots ,\{\lfloor \dfrac{n}{2} \rfloor, n- \lfloor \dfrac{n}{2} \rfloor\}$

Κάθε ένα ζευγάρι από αυτά έχει άθροισμα

. Άρα δεν πρέπει να επιλέγονται ποτέ και τα δύο στοιχεία ενός ζευγαριού. Επομένως για τη δημιουργία κάποιας $\lfloor \dfrac{n}{2} \rfloor +1$ -άδας θα πρέπει να επιλέγεται ένα στοιχείο από κάθε ζευγάρι, καθώς και το τελευταίο στοιχείο

του συνόλου

.

Από κάθε ζευγάρι έχουμε

διαφορετικές επιλογές. Άρα έχουμε $2^{\lfloor \dfrac{n}{2} \rfloor}$ διαφορετικές επιλογές για τη δημιουργία κάποιας μη διατεταγμένης $\lfloor \dfrac{n}{2} \rfloor +1$ -άδας.

Επειδή θέλουμε να υπολογιστούν και οι μεταθέσεις τους, έχουμε συνολικά: $\boxed{2^{\lfloor \dfrac{n}{2} \rfloor} \cdot (\lfloor \dfrac{n}{2} \rfloor +1)!}$ τρόπους.

JimNt. · #5

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:Χωρίζουμε όλα τα στοιχεία του εκτός του τελευταίου σε $\lfloor \dfrac{n}{2} \rfloor$ ζευγάρια ως εξής:

$\{1, n-1\}, \{2, n-2\}, \ldots ,\{\lfloor \dfrac{n}{2} \rfloor, n- \lfloor \dfrac{n}{2} \rfloor\}$

Κάθε ένα ζευγάρι από αυτά έχει άθροισμα . Άρα δεν πρέπει να επιλέγονται ποτέ και τα δύο στοιχεία ενός ζευγαριού. Επομένως για τη δημιουργία κάποιας $\lfloor \dfrac{n}{2} \rfloor +1$ -άδας θα πρέπει να επιλέγεται ένα στοιχείο από κάθε ζευγάρι, καθώς και το τελευταίο στοιχείο του συνόλου .

Από κάθε ζευγάρι έχουμε διαφορετικές επιλογές. Άρα έχουμε $2^{\lfloor \dfrac{n}{2} \rfloor}$ διαφορετικές επιλογές για τη δημιουργία κάποιας μη διατεταγμένης $\lfloor \dfrac{n}{2} \rfloor +1$ -άδας.

Επειδή θέλουμε να υπολογιστούν και οι μεταθέσεις τους, έχουμε συνολικά: $\boxed{2^{\lfloor \dfrac{n}{2} \rfloor} \cdot (\lfloor \dfrac{n}{2} \rfloor +1)!}$ τρόπους.

Πολύ ωραία. Αυτή ήταν η βασική ιδέα.

Συνδιαστική στα καλύτερά της!

Συνδιαστική στα καλύτερά της!

Re: Συνδιαστική στα καλύτερά της!

Re: Συνδιαστική στα καλύτερά της!

Re: Συνδιαστική στα καλύτερά της!

Re: Συνδιαστική στα καλύτερά της!

Μέλη σε σύνδεση