Μη διατήρηση κοίλων (2)

#1

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:R\to R$ με ασύμπτωτη στο $-\infty$ την ευθεία $\left( \varepsilon \right):y=\ell ,\ell \in R$ και ασύμπτωτη στο $+\infty$ την ευθεία $\left( \eta \right):y=kx+m,k,m\in R$ με . Αν υπάρχει $a\in R$ ώστε $f\left( a \right)<\ell$ να δειχθεί ότι η δεν διατηρεί τα κοίλα της στο

Στάθης

#2

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:R\to R$ με ασύμπτωτη στο $-\infty$ την ευθεία $\left( \varepsilon \right):y=\ell ,\ell \in R$ και ασύμπτωτη στο $+\infty$ την ευθεία $\left( \eta \right):y=kx+m,k,m\in R$ με . Αν υπάρχει $a\in R$ ώστε $f\left( a \right)<\ell$ να δειχθεί ότι η δεν διατηρεί τα κοίλα της στο

Στάθης

Καλησπέρα σου Στάθη

...δίνω μια αντιμετώπιση στο θέμα χρησιμοποιώντας την συνέχεια της {f}'

αν είναι παράνομο...ότι πει ο δημιουργός....

Έστω ότι η $f:R\to R$ διατηρεί τα κοίλα στο

Αν η

είναι κυρτή στο

σημαίνει (σύμφωνα με το σχολικό) ότι η {f}'

είναι γνήσια αύξουσα.

(Τώρα τι συμβαίνει με την {f}'

σύμφωνα με τα δεδομένα του προβλήματος;)

Στο $-\infty$ στα διαστήματα $[x-1,\,x],\,[x,\,\,x+1]$ σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ. υπάρχουν ${{x}_{1}}\in (x-1,\,x),\,\,\,\,{{x}_{2}}\in (x,\,\,x+1)$

ώστε να ισχύουν ${f}'({{x}_{1}})=\frac{f(x)-f(x-1)}{x-(x-1)}\,\,\,\,{f}'({{x}_{2}})=\frac{f(x+1)-f(x)}{(x+1)-x}$ ή

${f}'({{x}_{1}})=f(x)-f(x-1)\,\,\,\,{f}'({{x}_{2}})=f(x+1)-f(x)$ (1)

και αφού ισχύει ${{x}_{1}}<x<{{x}_{2}}$ λόγω μονοτονίας της {f}'

ισχύει ότι $\displaystyle{{f}'({{x}_{1}})<{f}'(x)<{f}'({{x}_{2}})}$ ή f(x)-f(x-1)<{f}'(x)<f(x+1)-f(x)

και επειδή $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=\ell$ θα είναι και

$\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x-1)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x+1)=\ell$ άρα από (1) σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής θα είναι $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{f}'(x)=0$

Για την συνάρτηση τώρα g(x)=f(x)-kx

που ισχύει $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,g(x)=m$ αφού ευθεία

$\left( \eta \right):y=kx+m,k,m\in R$ είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της

με ανάλογο τρόπο, όπως πριν,

ότι $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{g}'(x)=0\Leftrightarrow \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,({f}'(x)-k)=0\Leftrightarrow \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,({f}'(x))=k>0$

και επειδή {f}'

είναι γνήσια αύξουσα (…αν είναι συνεχής η {f}'

) είναι ${f}'(R)=(0,\,\,k)$ δηλαδή ${f}'(x)>0,\,\,x\in R$ που σημαίνει

ότι η

είναι γνήσια αύξουσα στο

και $f(R)=(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x),\,\,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x))=(\ell ,\,\,+\infty )$

(εύκολα $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty$ αφού η $\left( \eta \right):y=kx+m,k,m\in R$ είναι ασύμπτωτη στο $+\infty$ με k>0

)

που είναι άτοπο αφού υπάρχει $a\in R$ ώστε $f\left( a \right)<\ell$ , άρα δεν μπορεί να είναι κυρτή.

Αν η

είναι κοιλη στο

σημαίνει (σύμφωνα με το σχολικό) ότι η {f}'

είναι γνήσια φθίνουσα και ακολουθώντας την ίδια ακριβώς διαδικασία προκύπτει ότι

$\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{f}'(x)=0$ και $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,({f}'(x))=k>0$ και επειδή {f}'

είναι γνήσια φθίνουσα (…αν είναι συνεχής η {f}'

)

είναι ${f}'(R)=(k,\,\,0)$ που είναι άτοπο… επομένως η

δεν διατηρεί τα κοίλα της στο

.

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

#3

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:R\to R$ με ασύμπτωτη στο $-\infty$ την ευθεία $\left( \varepsilon \right):y=\ell ,\ell \in R$ και ασύμπτωτη στο $+\infty$ την ευθεία $\left( \eta \right):y=kx+m,k,m\in R$ με . Αν υπάρχει $a\in R$ ώστε $f\left( a \right)<\ell$ να δειχθεί ότι η δεν διατηρεί τα κοίλα της στο

Στάθης

Βασίλη καλό βράδυ και ευχαριστώ για την ενασχόληση . Νομίζω ότι δεν χρειάζεται η συνέχεια της πρώτης παραγώγου. Ισως να κάνω και λάθος. Ας δούμε το θέμα λίγο διαφορετικά (ελπίζοντας να μην υπάρχει ασάφεια)

$\bullet$ Αν η είναι κοίλη τότε με $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\ell$ η θα είναι γνησίως φθίνουσα (παρόμοια απόδειξη όπως εδώ ) και επειδή είναι συνεχής στο θα ισχύει: $f\left( R \right) = \left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right),\ell } \right) \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) < \ell$ ή $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = - \infty$ (που είναι και το σωστό βέβαια και αποδεικνύεται εύκολα από την εφαπτόμενη που βρίσκεται από πάνω της σε κάθε σημείο εκτός του σημείου επαφής και έχει αρνητικό συντελεστή διεύθυνσης (αφού λόγω της μονοτονίας θα είναι ${f}'\left( x \right)\le 0$ με μηδενισμό σε μεμονωμένα σημεία…) πράγμα άτοπο αφού από τη πλάγια (με θετικό συντελεστή διεύθυνσης) εύκολα προκύπτει ότι $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty$ ( $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\left( {f\left( x \right) - kx} \right) + kx} \right]$ $\mathop = \limits^{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {f\left( x \right) - kx} \right) = m \in R,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {kx} \right) = + \infty } + \infty$ ).

$\bullet$ Αν η είναι κυρτή, τότε με $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\ell$ η θα είναι γνησίως αύξουσα και επειδή είναι και συνεχής (λόγω της παραγωγισιμότητάς της) θα είναι $f\left( R \right) = \left( {\ell ,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right)} \right)\mathop \Rightarrow \limits^{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty } f\left( R \right) = \left( {\ell , + \infty } \right)$ πράγμα άτοπο αφού $\ell >f\left( a \right)\notin \left( \ell ,+\infty \right)=f\left( R \right)$ .

Φιλικά και ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΑΝΑΛΥΤΙΚΑ!!

Στάθης

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Καλημέρα Στάθη και Βασίλη.
Λίγο διαφορετικά.
Βήμα 1.
Υπάρχει $x_{0}\in \mathbb{R}$ με $f'(x_{0})< 0$
Απόδειξη.
Αν $f(x)\leq f(a)$ για x< a

τότε $l=\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)\leq f(a)$ ΑΤΟΠΟ
Αρα υπάρχει b< a

με

Εφαρμόζοντας ΘΜΤ στο [b,a]

βρίσκουμε $x_{0}$ με $f'(x_{0})< 0$ .
Βήμα 2
Εστω ότι η

είναι κυρτή.
Εχουμε $f(x)\geq f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})$
Παίρνοντας $x\rightarrow -\infty$ προκύπτει ότι $\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=\infty$
ΑΤΟΠΟ
Βήμα 3
Εστω ότι η

είναι κοίλη.
Εχουμε $f(x)\leq f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})$
Παίρνοντας $x\rightarrow \infty$ προκύπτει ότι $\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=-\infty$ .
Εχουμε ΑΤΟΠΟ γιατί λόγω της ασύμπτωτης $\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=\infty$

Τελικά η

δεν είναι ούτε κυρτή ούτε κοίλη

maiksoul · #5

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:R\to R$ με ασύμπτωτη στο $-\infty$ την ευθεία $\left( \varepsilon \right):y=\ell ,\ell \in R$ και ασύμπτωτη στο $+\infty$ την ευθεία $\left( \eta \right):y=kx+m,k,m\in R$ με . Αν υπάρχει $a\in R$ ώστε $f\left( a \right)<\ell$ να δειχθεί ότι η δεν διατηρεί τα κοίλα της στο

Στάθης

Καλησπέρα και Χρόνια Πολλά !Μια ακόμα απάντηση:

Ας υποθέσουμε ότι η

διατηρεί τα κοίλα,επομένως η

θα ναι ή γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα.

Έχουμε : $\lim_{x\rightarrow -\infty }(f(x)-f(a))=l-f(a)> 0$ . Άρα κοντά στο $\;-\infty\;$ έχουμε για k_1<a

:

$\;f(k_1)-f(a)>0 \Leftrightarrow f(k_1)>f(a)\;\;\;(1)$

Το Θ.Μ.Τ. στο διάστημα $\;[k_1\;,\;a]\;$ μας δίνει ότι: $f'(r_{1})=\frac{f(a)-f(k_{1})}{a-k_{1}}< 0\Rightarrow f'(r_{1})< 0 ...(2)$ για κάποιο $r_{1}\in(k_1,a)$

Είναι $\lim_{x\rightarrow +\infty }[f(x)-f(a)]=$ $\lim_{x\rightarrow +\infty }[f(x)-f(a)-(kx+m)+(kx+m)]=0+\infty =\infty$

άρα κοντά στο $+\infty$ είναι για k_2>a :

$f(k_2)-f(a)>0\Leftrightarrow f(k_2)>f(a)...(3)$

Το ΘΜΤ στο διάστημα [a,k_2]

δίνει για κάποιο $r_2\in(a,k_2)$ : $f'(r_2)=\frac{f(k_2)-f(a)}{k_2-a}> 0...(4)$

Από (2)

και

προκύπτει ότι η

είναι γνησίως αύξουσα.

Η εφαπτομένη στο (r_1,f(r_1))

είναι η

και ισχύει : $f(x)\geq f'(r_1)x+f(r_1)-r_1f'(r_1)...(5)$

Παίρνοντας όρια στην (5) στο $\;-\infty\;$ έχουμε $l\geq+ \infty$ που είναι άτοπο

Επομένως η

δεν διατηρεί τα κοίλα.

Μη διατήρηση κοίλων (2)

Μη διατήρηση κοίλων (2)

Re: Μη διατήρηση κοίλων (2)

Re: Μη διατήρηση κοίλων (2)

Re: Μη διατήρηση κοίλων (2)

Re: Μη διατήρηση κοίλων (2)

Μέλη σε σύνδεση