Εξίσωση

M.S.Vovos · #1

Να λύσετε την παρακάτω εξίσωση: $\displaystyle{\displaystyle 2017\sqrt{x}=\frac{x-2}{2\sqrt{2}}+\sqrt{2}+\frac{x-3}{2\sqrt{3}}+\sqrt{3}+\cdots +\frac{x-2017}{2\sqrt{2017}}+\sqrt{2017}}$ , $\hspace{2mm} x\geqslant 0$ Φιλικά,
Μάριος

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Καλησπέρα Μάριε.
Ερωτήσεις.
1)Μήπως εννοείς 'να εξετασθεί αν έχει λύση και αν έχει να βρεθεί'
2)Σίγουρα είναι έτσι;

M.S.Vovos · #3

Καλησπέρα Σταύρο! Βραδινό σε βλέπω. Η άσκηση είναι από συνάδελφο. Στις απαντήσεις δίνει ότι η εξίσωση είναι αδύνατη. Γι' αυτό και το έβαλε "να λύσετε". Αν χρειάζεται να μεταφερθεί, να γίνει αλλαγή φακέλου.

Φιλικά,
Μάριος

nikkru · #4

M.S.Vovos έγραψε:Να λύσετε την παρακάτω εξίσωση: $\displaystyle{\displaystyle 2017\sqrt{x}=\frac{x-2}{2\sqrt{2}}+\sqrt{2}+\frac{x-3}{2\sqrt{3}}+\sqrt{3}+\cdots +\frac{x-2017}{2\sqrt{2017}}+\sqrt{2017}}$ , $\hspace{2mm} x\geqslant 0$

Παρατηρούμε ότι $\displaystyle{\frac{x-a}{2\sqrt{a}}+\sqrt{a}=\frac{x}{2\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{a}}{2}\,\,(1).}$

Εφαρμόζουμε την (1)

στην εξίσωση και έχουμε ισοδύναμα:

$\displaystyle{2017\sqrt{x}=\frac{x}{2\sqrt{2}}+\frac{x} {2\sqrt{3}}+\cdots+\frac{x}{2\sqrt{2017}}+\frac{\sqrt{2}}{2}+ \frac{\sqrt{3}}{2}+\cdots+\frac{\sqrt{2017}}{2}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow \frac{x}{2\sqrt{2}}+\frac{x}{2\sqrt{3}}+\cdots+\frac{x}{2\sqrt{2017}}-2017\sqrt{x}+\frac{\sqrt{2}}{2}+ \frac{\sqrt{3}}{2}+\cdots+\frac{\sqrt{2017}}{2}=0}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x}^2}{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2017}})-2017\sqrt{x}+\frac{{1}}{2}(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\cdots+\sqrt{2017})=0}$

Καταλήξαμε σε δευτεροβάθμια με διακρίνουσα:

$\Delta =2017^2-4\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2017}})(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\cdots+\sqrt{2017})<0$

επομένως η εξίσωση είναι αδύνατη.

Μάλλον ο θεματοδότης ζητάει άλλο τρόπο επίλυσης αφού στην διακρίνουσα χρησιμοποιούμε ανισότητα άγνωστη στην Β΄ Λυκείου:
$\left ( \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_k} \right )\left ( a_1+a_2+\cdots+a_k \right )>k^2$ με a_1,a_2,. . . ,a_k

θετικούς διαφορετικούς μεταξύ τους .

Edit: Η διακρίνουσα είναι πράγματι αρνητική όχι όμως λόγω της ανισότητας που αναφέρω παραπάνω,
όπως πολύ σωστά παρατήρησε ο Σταύρος Παπαδόπουλος (δες επόμενη ανάρτηση).

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

nikkru έγραψε:
M.S.Vovos έγραψε:Να λύσετε την παρακάτω εξίσωση: $\displaystyle{\displaystyle 2017\sqrt{x}=\frac{x-2}{2\sqrt{2}}+\sqrt{2}+\frac{x-3}{2\sqrt{3}}+\sqrt{3}+\cdots +\frac{x-2017}{2\sqrt{2017}}+\sqrt{2017}}$ , $\hspace{2mm} x\geqslant 0$
Παρατηρούμε ότι $\displaystyle{\frac{x-a}{2\sqrt{a}}+\sqrt{a}=\frac{x}{2\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{a}}{2}\,\,(1).}$

Εφαρμόζουμε την στην εξίσωση και έχουμε ισοδύναμα:

$\displaystyle{2017\sqrt{x}=\frac{x}{2\sqrt{2}}+\frac{x} {2\sqrt{3}}+\cdots+\frac{x}{2\sqrt{2017}}+\frac{\sqrt{2}}{2}+ \frac{\sqrt{3}}{2}+\cdots+\frac{\sqrt{2017}}{2}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow \frac{x}{2\sqrt{2}}+\frac{x}{2\sqrt{3}}+\cdots+\frac{x}{2\sqrt{2017}}-2017\sqrt{x}+\frac{\sqrt{2}}{2}+ \frac{\sqrt{3}}{2}+\cdots+\frac{\sqrt{2017}}{2}=0}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x}^2}{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2017}})-2017\sqrt{x}+\frac{{1}}{2}(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\cdots+\sqrt{2017})=0}$

Καταλήξαμε σε δευτεροβάθμια με διακρίνουσα:

$\Delta =2017^2-4\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2017}})(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\cdots+\sqrt{2017})<0$

επομένως η εξίσωση είναι αδύνατη.

Μάλλον ο θεματοδότης ζητάει άλλο τρόπο επίλυσης αφού στην διακρίνουσα χρησιμοποιούμε ανισότητα άγνωστη στην Β΄ Λυκείου:
$\left ( \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_k} \right )\left ( a_1+a_2+\cdots+a_k \right )>k^2$ με θετικούς διαφορετικούς μεταξύ τους .

Οι φυσικοί από το

έως το

είναι

.
Ετσι το γινόμενο που γράφεις είναι μεγαλύτερο από $2016^{2}$ .
Η ανισότητα $\Delta < 0$
είναι σωστή αλλά η απόδειξη που έχω είναι με Ανάλυση.
Πιστεύω ότι υπάρχει και στοιχειώδης.

M.S.Vovos · #6

Η δικιά μου λύση είναι με κυρτότητα, αλλά δεν ανήκει στον συγκεκριμένο φάκελο.

Φιλικά.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #7

M.S.Vovos έγραψε:Η δικιά μου λύση είναι με κυρτότητα, αλλά δεν ανήκει στον συγκεκριμένο φάκελο.

Φιλικά.

Τότε γιατί την έβαλες εδώ;

M.S.Vovos · #8

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
M.S.Vovos έγραψε:Η δικιά μου λύση είναι με κυρτότητα, αλλά δεν ανήκει στον συγκεκριμένο φάκελο.

Φιλικά.
Τότε γιατί την έβαλες εδώ;

Καλησπέρα Σταύρο! Η λύση μου ειναι με κυρτότητα, αλλα η άσκηση πάρθηκε απο φυλλάδιο ασκήσεων της β' λυκείου. Πως θα μπορούσα να το βάλλω σε άλλο φάκελο;

Φιλικά.

Υ.Γ. Αν πάντως χρειάζεται να αλλάξει φάκελο, τότε παρακαλώ τους γενικους συντονιστές μας να το κάνουν.

M.S.Vovos · #9

Επαναφορά, για να δούμε και λύσεις Εκτος φακέλου.

nikkru · #10

nikkru έγραψε:
M.S.Vovos έγραψε:Να λύσετε την παρακάτω εξίσωση: $\displaystyle{\displaystyle 2017\sqrt{x}=\frac{x-2}{2\sqrt{2}}+\sqrt{2}+\frac{x-3}{2\sqrt{3}}+\sqrt{3}+\cdots +\frac{x-2017}{2\sqrt{2017}}+\sqrt{2017}}$ , $\hspace{2mm} x\geqslant 0$
Παρατηρούμε ότι $\displaystyle{\frac{x-a}{2\sqrt{a}}+\sqrt{a}=\frac{x}{2\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{a}}{2}\,\,(1).}$

Εφαρμόζουμε την στην εξίσωση και έχουμε ισοδύναμα:

$\displaystyle{2017\sqrt{x}=\frac{x}{2\sqrt{2}}+\frac{x} {2\sqrt{3}}+\cdots+\frac{x}{2\sqrt{2017}}+\frac{\sqrt{2}}{2}+ \frac{\sqrt{3}}{2}+\cdots+\frac{\sqrt{2017}}{2}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow \frac{x}{2\sqrt{2}}+\frac{x}{2\sqrt{3}}+\cdots+\frac{x}{2\sqrt{2017}}-2017\sqrt{x}+\frac{\sqrt{2}}{2}+ \frac{\sqrt{3}}{2}+\cdots+\frac{\sqrt{2017}}{2}=0}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x}^2}{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2017}})-2017\sqrt{x}+\frac{{1}}{2}(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\cdots +\sqrt{2017})=0}$

Καταλήξαμε σε δευτεροβάθμια με διακρίνουσα:

$\Delta =2017^2-4\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2017}})(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\cdots+\sqrt{2017})<0$

επομένως η εξίσωση είναι αδύνατη.

Μια αιτιολόγηση για την αρνητική διακρίνουσα (ελπίζω να μην υπάρχει κάπου λάθος )

Είναι: $\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}}>3\cdot\frac{1}{2},\, \, \, \frac{1}{\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{6}}+\frac{1}{\sqrt{7}}+\frac{1}{\sqrt{8}}+\frac{1}{\sqrt{9}}>5\cdot\frac{1}{3},\cdots}$

$\displaystyle{\frac{1}{1850}+\frac{1}{1851}+\cdots\frac{1}{1935}+\frac{1}{1936}>87\cdot\frac{1}{44},\frac{1}{1937}+\cdots\frac{1}{2017}>81\cdot\frac{1}{45}}$

και $\sqrt{2}+\sqrt{3}>2,\,\,\sqrt{4}+\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{7}+\sqrt{8}>5\cdot2,$

$\sqrt{9}+\sqrt{10}+\sqrt{11}+\cdots+\sqrt{15}>7\cdot3,\cdots,\sqrt{1849}+\cdots\sqrt{1935}>87\cdot43$

Οπότε: $\displaystyle{(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2017}})(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\cdots+\sqrt{2017})>}$

$(\frac{3}{2}+\frac{5}{3}+\cdots+\frac{85}{43})(5\cdot2+7\cdot3+\cdots+87\cdot43)>80*52070=4165600$

Έτσι, $\Delta<2017^2-4165600<0$ .

Εξίσωση

Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση