ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ

paylos · #1

Να αποδείξετε ότι: $\left| {\sigma \upsilon \nu x} \right| \le \left| {x - \frac{\pi }{2}} \right|$ , για κάθε $x \in R$ .

(Όχι με τον τρόπο που αποδεικνύει το σχολικό βιβλίο την ανισότητα $\left| {\eta \mu x} \right| \le \left| x \right|$ )

Έγινε διόρθωση μετά τη παρατήρηση του Μιχάλη Λάμπρου.

#2

paylos έγραψε:Να αποδείξετε ότι: $\left| {\sigma \upsilon \nu x} \right| < \left| x \right|$ , για κάθε $x \in R$ .

(Όχι με τον τρόπο που αποδεικνύει το σχολικό βιβλίο την ανισότητα $\left| {\eta \mu x} \right| \le \left| x \right|$ )

Η ανισότητα είναι λάθος. Π.χ. για x=0

δίνει

.

#3

paylos έγραψε:Να αποδείξετε ότι: $\left| {\sigma \upsilon \nu x} \right| \le \left| {x - \frac{\pi }{2}} \right|$ , για κάθε $x \in R$ .

(Όχι με τον τρόπο που αποδεικνύει το σχολικό βιβλίο την ανισότητα $\left| {\eta \mu x} \right| \le \left| x \right|$ )

Βάζοντας $y=x - \frac{\pi }{2}$ η αποδεικτέα γίνεται $|-\sin y| \le |y|$ που είναι γνωστή (άλλωστε αναφέρεται παραπάνω). Αν θέλουμε απόδειξή της, πέρα από την γεωμετρική του σχολικού βιβλίου, θεωρούμε την $f(x) = x- \sin x$ που έχει θετική παράγωγο, και λοιπά (αφήνω τις λεπτομέρειες ως γνωστές).

#4

paylos έγραψε:Να αποδείξετε ότι: $\left| {\sigma \upsilon \nu x} \right| \le \left| {x - \frac{\pi }{2}} \right|$ , για κάθε $x \in R$ .

(Όχι με τον τρόπο που αποδεικνύει το σχολικό βιβλίο την ανισότητα $\left| {\eta \mu x} \right| \le \left| x \right|$ )

Έγινε διόρθωση μετά τη παρατήρηση του Μιχάλη Λάμπρου.

...και με άνα άλλο τρόπο...

Για $x=\frac{\pi }{2}$ ισχύει σαν ισότητα και για $x\ne \frac{\pi }{2}$ ισοδύναμα έχουμε

$\left| \frac{\sigma \upsilon \nu x}{x-\frac{\pi }{2}} \right|\le 1\Leftrightarrow -1\le \frac{\sigma \upsilon \nu x-\sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{2}}{x-\frac{\pi }{2}}\le 1$

και με εφαρμογή του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση $f(t)=\sigma \upsilon \nu t,\,\,\,x\in [\frac{\pi }{2},\,\,x],\,\,x>\frac{\pi }{2}$ ή

$x\in [x,\,\frac{\pi }{2}],\,\,x<\frac{\pi }{2}$ υπάρχει $\xi \in (\frac{\pi }{2},\,\,x)$ ή $\xi \in (x,\,\,\frac{\pi }{2})$ που

${f}'(\xi )=\frac{\sigma \upsilon \nu x-\sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{2}}{x-\frac{\pi }{2}}\Leftrightarrow \eta \mu \xi =\frac{\sigma \upsilon \nu x-\sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{2}}{x-\frac{\pi }{2}}$ έτσι ισοδύναμα $-1\le \eta \mu \xi \le 1$ που ισχύει.

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ

Re: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ

Re: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ

Re: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ

Μέλη σε σύνδεση