Εκτίμηση ολοκληρώματος!

#1

Αν $\displaystyle{0<a<b}$ να αποδείξετε ότι

$\displaystyle{\left|\int_{a}^{b}\sin (x^2)dx\right|<\frac{1}{a}+\frac{1}{b}.}$

#2

Καλησπέρα Θάνο!

Με την αντικατάσταση $\displaystyle{u = {x^2}}$ και χρησιμοποιώντας ολοκλήρωση κατά παράγοντες βρίσκουμε ότι:

$\displaystyle{\left| {\int_a^b {\sin \left( {{x^2}} \right)} dx} \right| = \left| {\int_{{a^2}}^{{b^2}} {\frac{{\sin u}}{{2\sqrt u }}} du} \right| = \left| { - \frac{1}{2}\int_{{a^2}}^{{b^2}} {{{\left( {\cos u} \right)}^\prime }\frac{1}{{\sqrt u }}} du} \right| = }$

$\displaystyle{ = \left| - \frac{1}{2}\left( {\left[ {\frac{{\cos u}}{{\sqrt u }}} \right]_{{a^2}}^{{b^2}} + \frac{1}{2}\int_{{a^2}}^{{b^2}} {{u^{ - \frac{3}{2}}}} \cos udu} \right)\right| = \left|\frac{1}{2}\left( {\frac{{\cos \left( {{a^2}} \right)}}{a} - \frac{{\cos \left( {{b^2}} \right)}}{b}} \right) - \frac{1}{4}\int_{{a^2}}^{{b^2}} {{u^{ - \frac{3}{2}}}} \cos udu \right|\le }$

$\displaystyle{ \le \frac{1}{2}\left( {\frac{{\left| {\cos \left( {{a^2}} \right)} \right|}}{a} + \frac{{\left| {\cos \left( {{b^2}} \right)} \right|}}{b}} \right) + \frac{1}{4}\int_{{a^2}}^{{b^2}} {{u^{ - \frac{3}{2}}}\left| {\cos u} \right|} du < \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right) + \frac{1}{4}\int_{{a^2}}^{{b^2}} {{u^{ - \frac{3}{2}}}} du = }$

$\displaystyle{ = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right) + \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{a} - \frac{1}{b}} \right) = \frac{1}{a} < \frac{1}{a} + \frac{1}{b}.}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

$\int_{a}^{b}\sin x^{2}dx=\frac{1}{2}\int_{a}^{b}2x\sin x^{2}\frac{1}{x}dx=\frac{1}{2}\int_{a}^{b}(-\cos x^{2})'\frac{1}{x}dx=\frac{1}{2}J$

Κάνοντας παραγοντική παίρνουμε

$J=-\frac{\cos b^{2}}{b}+\frac{\cos a^{2}}{a}+\int_{a}^{b}\frac{\cos x^{2}}{x^{2}}dx$

Αρα $\left | J \right |\leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\int_{a}^{b}\left | \frac{\cos x^{2}}{x^{2}} \right |dx$

Αλλά $\int_{a}^{b}\left | \frac{\cos x^{2}}{x^{2}} \right |dx\leq \int_{a}^{b}\frac{1}{x^{2}}=\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$

(Μόλις βλέπω ότι με πρόλαβε ο Βαγγέλης)

Τελικά $\left | \int_{a}^{b}\sin x^{2} dx\right |\leq \frac{1}{2}\left | J \right |\leq \frac{1}{a}$

Αυτή είναι καλή εκτίμηση αν a> 1

Αν $b\leq 1$ τότε $0\leq \int_{a}^{b}\sin x^{2}dx\leq \int_{0}^{1}x^{2}dx\leq \frac{1}{3}$

Ενω αν $a\leq 1< b$ τότε

$\left | \int_{a}^{b}\sin x^{2}dx \right |\leq \left | \int_{a}^{1}\sin x^{2}dx \right |+\left | \int_{1}^{b}\sin x^{2}dx \right |\leq 1+\frac{1}{3}$

Δηλαδή για $a\leq 1< b$

$\left | \int_{a}^{b}\sin x^{2}dx \right |\leq min(\frac{1}{a},\frac{4}{3})$

Για οποιαδήποτε a,b> 0

έχουμε $\left | \int_{a}^{b}\sin x^{2}dx \right |\leq \frac{4}{3}$

Εκτίμηση ολοκληρώματος!

Εκτίμηση ολοκληρώματος!

Re: Εκτίμηση ολοκληρώματος!

Re: Εκτίμηση ολοκληρώματος!

Μέλη σε σύνδεση