Τιμή παράστασης

mathxl · #1

Αν $\frac{1}{2}\le x\le 1$ να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης $\displaystyle \cos^{-1}{x}+\cos^{-1}\left({\frac{x}{2}+\frac{\sqrt{3-3x^{2}}}{2}}\right)$

#2

mathxl έγραψε:Αν $\frac{1}{2}\le x\le 1$ να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης $\displaystyle \cos^{-1}{x}+\cos^{-1}\left({\frac{x}{2}+\frac{\sqrt{3-3x^{2}}}{2}}\right)$

$\displaystyle\frac{\pi}{3}$ .. Πολλές πράξεις όμως ρε φίλε. Ναυτία μου ήρθε....

Επιφυλάσσομαι για καμιά σατανική λύση γιατί τη δική μου φοβάμαι να γράψω.....

Παραγωγίζουμε στο $(\frac{1}{2},1)$ , το ότι μπορούμε είναι ήδη μανίκι, τη βγάζουμε 0 άρα σταθερή, στα άκρα δίνει $\frac{\pi}{3}$ .... Πού την ξετρύπωσες;;;;

#3

Καταρχήν στο $\left(\displaystyle\frac{1}{2},1\right)$ και οι δύο παραστάσεις μέσα στα αντίστροφα συνημίτονα είναι θετικές.

Από τον τύπο $\cos{(a+b)}=\cos{a}\cos{b}-\sin{a}\sin{b}$ παίρνουμε $a+b=\cos^{-1}\left(\cos{a}\cos{b}-\sin{a}\sin{b}\right)$ και αν πρόκειται για θετικά ημίτονα (όπως εδώ) έχουμε

$a+b=\cos^{-1}\left(\cos{a}\cos{b}-\sqrt{1-\cos^2{a}}\sqrt{1-\cos^2{b}}\right)$

Θέτοντας $a=\cos^{-1}x$ και $b=\cos^{-1}\left(\displaystyle\frac{x}{2}+\displaystyle\frac{\sqrt{3-3x^2}}{2}\right)$ παίρνουμε

$\cos^{-1}x+\cos^{-1}\left(\displaystyle\frac{x}{2}+\displaystyle\frac{\sqrt{3-3x^2}}{2}\right)=\cos^{-1}\left(x\left(\displaystyle\frac{x}{2}+\displaystyle\frac{\sqrt{3-3x^2}}{2}{2}\right) - \sqrt{1-x^2}\sqrt{1-\left(\displaystyle\frac{x}{2}+\displaystyle\frac{\sqrt{3-3x^2}}{2}\right)^2}\right)$

Όμως

$\begin{aligned}\sqrt{1-\left(\frac{x}{2}+\frac{\sqrt{3-3x^2}}{2}\right)^2} &= \sqrt{\frac{2x^2-2\sqrt{3}x\sqrt{1-x^2}+1}{4}} \\ &= \sqrt{\frac{3x^2-2\sqrt{3}x\sqrt{1-x^2} + (1-x^2)}{4}} \\ &= \sqrt{\frac{\left(\sqrt{3}x-\sqrt{1-x^2}\right)^2}{4}} \\ &\stackrel{x>\frac{1}{2}}{=}\frac{\sqrt{3}x-\sqrt{1-x^2}}{2}\end{aligned}$

Άρα τελικά

$\begin{aligned}\cos^{-1}x+\cos^{-1}\left(\frac{x}{2}+\frac{\sqrt{3-3x^2}}{2}\right) &= \cos^{-1}\left(\frac{x^2+\sqrt{3}x\sqrt{1-x^2}}{2}-\frac{\sqrt{3}x-\sqrt{1-x^2}}{2}\sqrt{1-x^2}\right) \\ &=\cos^{-1}\left(\frac{x^2+\sqrt{3}x\sqrt{1-x^2}-\sqrt{3}x\sqrt{1-x^2}+\left(\sqrt{1-x^2}\right)^2}{2}\right) \\ &=\cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) \\ &=\frac{\pi}{3} \end{aligned}$

Αλέξανδρος

#4

............

#5

Καταπληκτική λύση Σεραφείμ!!

Αλέξανδρος

mathxl · #6

Καλημέρα, η σύντομη λύση είναι αυτή του Σεραφείμ (αυτήν είδα) βάζουμε όπου χ=συνθ. Αυτό που είχα σκεφτεί ήταν η λύση του Αλέξανδρου. Ευχαριστώ για την συμμετοχή, το θέμα είναι από μαθλινκσ

#7

Σεραφείμ έγραψε:............

Σα γόπα από τσιγάρο στο πεζοδρόμιο την πάτησες την άσκηση πάλι άτιμε!!! Πάλι καλά που δεν έγραψα τη δική μου λύση

Τιμή παράστασης

Τιμή παράστασης

Re: Τιμή παράστασης

Re: Τιμή παράστασης

Re: Τιμή παράστασης

Re: Τιμή παράστασης

Re: Τιμή παράστασης

Re: Τιμή παράστασης

Μέλη σε σύνδεση