5o Τεστ επiλογής για Βαλκανιάδα Junior - Ρουμανία 2010

#1

Αν

με

, να αποδειχθεί ότι :

$\displaystyle \frac {(a+b)^2+1}{c^2+2} + \frac {(b+c)^2+1}{a^2+2}+\frac {(c+a)^2+1}{b^2+2} \geq 3$

Μπάμπης

kwstas12345 · #2

Μια λύση:

Mε δυο διαδοχικές εφαρμογές Caychy Swartz (in Engel form):

$\displaystyle \frac{\left(a+b \right)^{2}+1}{c^{2}+2}+\frac{\left(b+c \right)^{2}+1}{a^{2}+2}+\frac{\left(a+c \right)^{2}+1}{b^{2}+2}=\frac{\left(a+b \right)^{2}}{c^{2}+2}+\frac{\left(b+c \right)^{2}}{a^{2}+2}+\frac{\left(a+c \right)^{2}}{b^{2}+2}+\frac{1}{c^{2}+2}+\frac{1}{b^{2}+2}+\frac{1}{a^{2}+2}\geq \frac{4\left(a+b+c \right)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+6}+\frac{9}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+6}=\frac{4\left(a^{2}+b^{2}+c^{2} \right)+17}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+6}$

Αρκεί:

$\displaystyle \frac{4\left(a^{2}+b^{2}+c^{2} \right)+17}{a^{2}\ +b^{2}+c^{2}+6}\geq 3\Leftrightarrow 4\left(a^{2}+b^{2}+c^{2} \right)+17\geq 3\left(a^{2}+b^{2}+c^{2} \right)+18\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 1\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca$

που ισχύει.

Η ισότητα λαμβάνεται όταν: $\displaystyle a=b=c=\frac{\sqrt{3}}{3}$

Φιλικά,
Κώστας

ksofsa · #3

Το θέμα έχει ξανασυζητηθεί εδώ viewtopic.php?f=49&t=7318&p=41564#p41564
Oμως επειδή η λύση που είχα γράψει τότε είναι κακογραμμένη και δυσανάγνωστη,την ξαναγράφω σε κώδικα latex.
Λόγω της συνθήκης η ανισότητα γράφεται
$\frac{(a+b)^2+1}{(c+a)(b+c)+1}+\frac{(c+a)^2+1}{(a+b)(b+c)+1}+\frac{(b+c)^2+1}{(a+b)(c+a)+1}\geq 3$
θέτω x=a+b,y=b+c.z=c+a

και διαδοχικά έχουμε $\frac{x^2+1}{zy+1}+\frac{y^2+1}{zx+1}+\frac{z^2+1}{xy+1}\geq 3\Rightarrow \frac{x^2+1}{2zy+2}+\frac{y^2+1}{2zx+2}+\frac{z^2+1}{2xy+2}\geq \frac{3}{2}$ .Επειδή $\frac{x^2+1}{2zy+2}+\frac{y^2+1}{2zx+2}+\frac{z^2+1}{2xy+2}\geq \frac{x^2+1}{y^2+z^2+2}+\frac{y^2+1}{z^2+x^2+2}+\frac{z^2+1}{x^2+y^2+2}$ ,αρκεί $\frac{x^2+1}{y^2+z^2+2}+\frac{y^2+1}{z^2+x^2+2}+\frac{z^2+1}{x^2+y^2+2}\geq \frac{3}{2}$ .Θέτω k=x^2+1,t=y^2+1,m=z^2+1

και η ανισότητα γράφεται $\frac{k}{t+m}+\frac{t}{k+m}+\frac{m}{k+t}\geq \frac{3}{2}$ .Η τελευταία ανισότητα είναι η ανισότητα Nesbitt και δίνω μια ενδεικτική απόδειξη της.
$\frac{k}{t+m}+\frac{t}{k+m}+\frac{m}{k+t}=\frac{k^2}{kt+km}+\frac{t^2}{tk+tm}+\frac{m^2}{mk+mt}\geq \frac{(k+t+m)^2}{2(kt+km+tm)}\geq \frac{3(km+kt+tm)}{2(km+kt+tm)}=\frac{3}{2}$

christodoulos703 · #4

Αντί για BCS βγαίνει και με ανισότητα της αναδιάταξης και Andreescu.

#5

christodoulos703 έγραψε:Αντί για BCS βγαίνει και με ανισότητα της αναδιάταξης και Andreescu.

Αντί να κάνεις μόνο δήλωση, καλό θα ήταν να βλέπαμε κιόλας την λύση σου. Αλλιώς είναι άνευ περιεχομένου, και μάλιστα για ερώτημα που τέθηκε πριν

χρόνια.

#6

Mihalis_Lambrou έγραψε:
christodoulos703 έγραψε:Αντί για BCS βγαίνει και με ανισότητα της αναδιάταξης και Andreescu.
Αντί να κάνεις μόνο δήλωση, καλό θα ήταν να βλέπαμε κιόλας την λύση σου. Αλλιώς είναι άνευ περιεχομένου, και μάλιστα για ερώτημα που τέθηκε πριν χρόνια.

Υπενθύμιση.

christodoulos703 · #7

Βασικά,δεν τα πάω καλά με τους υπολογιστές και για αυτό δεν γνωρίζω πώς να γράψω σε Latex.Για αυτό συγχωρέστε με που δεν μπορώ να δώσω λύσεις.

5o Τεστ επiλογής για Βαλκανιάδα Junior - Ρουμανία 2010

5o Τεστ επiλογής για Βαλκανιάδα Junior - Ρουμανία 2010

Re: 5o Τεστ επiλογής για Βαλκανιάδα Junior - Ρουμανία 2010

Re: 5o Τεστ επiλογής για Βαλκανιάδα Junior - Ρουμανία 2010

Re: 5o Τεστ επiλογής για Βαλκανιάδα Junior - Ρουμανία 2010

Re: 5o Τεστ επiλογής για Βαλκανιάδα Junior - Ρουμανία 2010

Re: 5o Τεστ επiλογής για Βαλκανιάδα Junior - Ρουμανία 2010

Re: 5o Τεστ επiλογής για Βαλκανιάδα Junior - Ρουμανία 2010

Μέλη σε σύνδεση