Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2017 (9η τάξη)

Al.Koutsouridis · #1

LXXX Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 12 Μαρτίου 2017 - 9η τάξη

Πρόβλημα 1. Να βρείτε τον μεγαλύτερο φυσικό αριθμό, όλα τα ψηφία του οποίου είναι διαφορετικά και ο οποίος μειώνεται κατά 5 φορές, αν διαγράψουμε το πρώτο ψηφίο.

Πρόβλημα 2. Σε σκακιστικό τουρνουά κάθε παίχτης έπαιξε με τον καθένα μια φορά. Σε κάθε γύρο κάθε σκακιστής έπαιξε μια παρτίδα. Από το συνολικό αριθμό παρτίδων στις μισές τουλάχιστον και οι δυο αντίπαλοι ήταν συντοπίτες (από την ίδια πόλη). Να αποδείξετε, ότι σε κάθε γύρο υπήρχε τουλάχιστον μια παρτίδα που παίχτηκε μεταξύ συντοπιτών.

Πρόβλημα 3. Υπάρχει άραγε «τετραγωνικό» (*) πολύγωνο, το οποίο μπορεί να διαμεριστεί σε δυο ίσα μέρη με κοπή σχήματος της ακόλουθης μορφής; Το «κόψιμο» πρέπει να βρίσκεται εσωτερικά του πολυγώνου (στην περιφέρεια μπορούν να βρίσκονται μόνο τα άκρα της κοπής).
α)

: mmo_2017_class9_pr3a.png (4.21 KiB) Προβλήθηκε 2217 φορές

β)

: mmo_2017_class9_pr3b.png (4.35 KiB) Προβλήθηκε 2217 φορές

Πρόβλημα 4. Να βρείτε όλα τα ζεύγη φυσικών αριθμών

και

, για τα οποία για κάθε φυσικό

, σχετικά πρώτο με τον

, ο αριθμός $a^{k^n+1}-1$ διαιρείται με το

.

Πρόβλημα 5. Ο Πέτρος χρωμάτισε κάθε κελί τετραγωνικού πίνακα διαστάσεων $1000 \times 1000$ με ένα από δέκα χρώματα. Επίσης βρήκε ένα πολύγωνο $\Phi$ 10-κελιών, τέτοιο ώστε με οποιονδήποτε τρόπο και αν αποκόψουμε από τον πίνακα κατά μήκος των τετραγωνικών κελιών, πολύγωνο ίσο με το $\Phi$ , σε αυτό και τα δέκα κελιά θα είναι διαφορετικού χρώματος. Θα είναι το $\Phi$ , οπωσδήποτε ορθογώνιο;

Πρόβλημα 6. Σε τρίγωνο ABC

με την γωνία

ίση με

, φέρουμε την διάμεσο

. Η ευθεία

είναι η συμμετρική της

ως προς το ύψος $BB_{1}$ και η ευθεία

η συμμετρική της

ως προς το ύψος $CC_{1}$ . Οι ευθείες

και

τέμνονται στο σημείο

. Να αποδείξετε, ότι AX = BC

.

(*) Πολύγωνο που έχει τις πλευρές του πάνω στις ευθείες που ορίζουν ένα τετραγωνικό πλέγμα.

Στατιστικά: (1200 συμμετοχές)
$\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{\gr} & 1 & 2 & 3a & 3b & 4 & 5 & 6 \\ \hline + & 239 & 106 & 757 & 119 & 5 & 42 & 2 \\ \hline \pm & 61 & 28 & 0 & 1 & 0 & 18 & 0 \\ \hline \mp & 95 & 90 & 0 & 0 & 3 & 6 & 8 \\ \hline - & 675 & 724 & 363 & 1000 & 485 & 659 & 402 \\ \hline 0 & 130 & 252 & 80 & 80 & 707 & 475 & 788 \\ \hline \end{tabular}$

Σημείωση: Σύμφωνα με την πηγή που είναι η επίσημη σελίδα της ολυμπιάδας εδώ. «Τα θέματα και οι λύσεις διατίθενται ελεύθερα για μη εμπορική χρήση (με επιθυμητή την αναφορά στην πηγή κατά την ανατύπωση)».

mikemoke · #2

Πρόβλημα 3. Υπάρχει άραγε «τετραγωνικό» (*) πολύγωνο, το οποίο μπορεί να διαμεριστεί σε δυο ίσα μέρη με κοπή σχήματος της ακόλουθης μορφής; Το «κόψιμο» πρέπει να βρίσκεται εσωτερικά του πολυγώνου (στην περιφέρεια μπορούν να βρίσκονται μόνο τα άκρα της κοπής).
α) mmo_2017_class9_pr3a.png
β) mmo_2017_class9_pr3b.png

(*) Πολύγωνο που έχει τις πλευρές του πάνω στις ευθείες που ορίζουν ένα τετραγωνικό πλέγμα.

Στο ζητούμενο πολύγωνο πρέπει να εφαρμόζονται και οι 2 ( α,β ) τρόποι κοπής , ή ο καθένας εφαρμόζεται σε 2 διαφορετικά πολύγωνα

Al.Koutsouridis · #3

mikemoke έγραψε: Στο ζητούμενο πολύγωνο πρέπει να εφαρμόζονται και οι 2 ( α,β ) τρόποι κοπής , ή ο καθένας εφαρμόζεται σε 2 διαφορετικά πολύγωνα

Όχι απραίτητα το καθένα μπορεί να εφαρμοστεί σε διαφορετικό πολύγωνο. Τα ερωτήματα (α),(β) είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους.

mikemoke · #4

Al.Koutsouridis έγραψε:
mikemoke έγραψε: Στο ζητούμενο πολύγωνο πρέπει να εφαρμόζονται και οι 2 ( α,β ) τρόποι κοπής , ή ο καθένας εφαρμόζεται σε 2 διαφορετικά πολύγωνα
Όχι απραίτητα το καθένα μπορεί να εφαρμοστεί σε διαφορετικό πολύγωνο. Τα ερωτήματα (α),(β) είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους.

Al.Koutsouridis · #5

#6

Al.Koutsouridis έγραψε: Πρόβλημα 4. Να βρείτε όλα τα ζεύγη φυσικών αριθμών και , για τα οποία για κάθε φυσικό , σχετικά πρώτο με τον , ο αριθμός $a^{k^n+1}-1$ διαιρείται με το .

Αν $\displaystyle{a = 1,}$ τότε για κάθε φυσικό αριθμό

ο αριθμός $\displaystyle{{a^{{k^n} + 1}} - 1 = 1 - 1 = 0}$ διαιρείται με τον αριθμό

.

Έστω ότι υπάρχουν ακέραιοι $\displaystyle{a \ge 2}$ και $k\ge 1$ τέτοιοι, ώστε για κάθε θετικό ακέραιο

σχετικά πρώτο με τον

, ο αριθμός $\displaystyle{{a^{{k^n} + 1}} - 1}$ να διαιρείται με τον αριθμό

, δηλαδή να ισχύει:

$\displaystyle{{a^{{k^n} + 1}} \equiv 1\left( {\bmod n} \right).}$

Η σχέση αυτή θα ισχύει και για τον αριθμό $\displaystyle{n = {a^k} - 1,}$ ο οποίος είναι σχετικά πρώτος με τον

, αφού αν $\displaystyle{d = \left( {a,{a^k} - 1} \right), }$ τότε

$\displaystyle{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {d|a}\\ {d|{a^k} - 1} \end{array}} \right\} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {d|{a^k}}\\ {d|{a^k} - 1} \end{array}} \right\} \Rightarrow d|1 \Rightarrow d = 1.}$

Έχουμε, λοιπόν, ότι

$\displaystyle{{a^{{k^n} + 1}} = a \cdot {a^{{k^n}}} = a \cdot {a^{k \cdot {k^{n - 1}}}} = a \cdot {\left( {{a^k}} \right)^{{k^{n - 1}}}} \equiv a \cdot {1^{{k^{n - 1}}}} = a\left( {\bmod n} \right)},$

οπότε

$\displaystyle{a \equiv 1\left( {\bmod n} \right).}$

Αλλά τότε έχουμε ότι:

$\displaystyle{n|a - 1 \Rightarrow n = {a^k} - 1 \le a - 1 \Rightarrow k = 1,}$

οπότε ο αριθμός $\displaystyle{{a^{{k^n} + 1}} - 1 = {a^2} - 1}$ θα πρέπει να διαιρείται με τον αριθμό

για κάθε θετικό ακέραιο

σχετικά πρώτο με τον

. Αυτό, όμως, δεν μπορεί να ισχύει για κανέναν αριθμό $\displaystyle{a \ge 2}$ , αφού (π.χ.) ο αριθμός $\displaystyle{{a^2} + 1}$ είναι σχετικά πρώτος με τον

και δεν διαιρεί τον $\displaystyle{{a^2} - 1.}$

Ώστε, ο ισχυρισμός του προβλήματος αληθεύει για $\displaystyle{a = 1}$ και τυχαίο θετικό ακέραιο

.

Al.Koutsouridis · #7

Αξιοσημείωτο είναι ότι δημιουργός του προβλήματος 3, ήταν μαθητής της 7ης τάξης.

#8

Al.Koutsouridis έγραψε: Πρόβλημα 1. Να βρείτε τον μεγαλύτερο φυσικό αριθμό, όλα τα ψηφία του οποίου είναι διαφορετικά και ο οποίος μειώνεται κατά 5 φορές, αν διαγράψουμε το πρώτο ψηφίο.

Έστω $\displaystyle{x = \overline {{a_n}{a_{n - 1}}{a_{n - 2}} \cdots {a_1}{a_0}} }$ ένας αριθμός με τη δοσμένη ιδιότητα. Τότε, είναι:

$\displaystyle{x = 5\overline {{a_{n - 1}}{a_{n - 2}} \cdots {a_1}{a_0}} \Leftrightarrow {a_n} \cdot {10^n} + \overline {{a_{n - 1}}{a_{n - 2}} \cdots {a_1}{a_0}} = 5\overline {{a_{n - 1}}{a_{n - 2}} \cdots {a_1}{a_0}} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{ \Leftrightarrow 4\overline {{a_{n - 1}}{a_{n - 2}} \cdots {a_1}{a_0}} = {a_n} \cdot {10^n} = 100{a_n} \cdot {10^{n - 2}} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{ \Leftrightarrow \overline {{a_{n - 1}}{a_{n - 2}} \cdots {a_1}{a_0}} = 25{a_n} \cdot {10^{n - 2}}.}$

Αν $\displaystyle{n \ge 4,}$ τότε ο αριθμός $\displaystyle{\overline {{a_{n - 1}}{a_{n - 2}} \cdots {a_1}{a_0}} }$ , άρα και ο

, έχει τα δύο τελευταία ψηφία του ίσα με

, πράγμα άτοπο.

Εξετάζουμε αν υπάρχει λύση με $\displaystyle{n = 3.}$ Τότε, θα είναι $\displaystyle{\overline {{a_2}{a_1}{a_0}} = 250{a_3},}$ και άρα αν $\displaystyle{{a_3} \ge 4}$ θα έχουμε ότι $\displaystyle{\overline {{a_2}{a_1}{a_0}} \ge 1000,}$ που είναι άτοπο. Επομένως, θα είναι $\displaystyle{{a_3} \le 3.}$ Για $\displaystyle{{a_3} = 3}$ βρίσκουμε ότι $\displaystyle{\overline {{a_2}{a_1}{a_0}} = 750}$ και συνεπώς ο μεγαλύτερος αριθμός με τη δοσμένη ιδιότητα είναι ο $\displaystyle{\boxed{x = 3750}}$ .

mikemoke · #9

Al.Koutsouridis έγραψε:Αξιοσημείωτο είναι ότι δημιουργός του προβλήματος 3, ήταν μαθητής της 7ης τάξης.

Θα μπορούσε να γίνει γενίκευση για κάθε ανοιχτή γραμμή (που κόβει σε 2 σημεια, εσωτερική) ;
Νομίζω οτι ισχύει για όλες.

Al.Koutsouridis · #10

mikemoke έγραψε:
Al.Koutsouridis έγραψε:Αξιοσημείωτο είναι ότι δημιουργός του προβλήματος 3, ήταν μαθητής της 7ης τάξης.
Θα μπορούσε να γίνει γενίκευση για κάθε ανοιχτή γραμμή (που κόβει σε 2 σημεια, εσωτερική) ;
Νομίζω οτι ισχύει για όλες.

Ναι με παρόμοιο τρόπο που το έλυσες, μπορεί να κατασκευαστεί πολύγωνο και για οποιαδήποτε τέτοιου είδους απλή τεθλασμένη. Αυτό ήταν και το σχόλιο στις επίσημες λύσεις.

#11

Al.Koutsouridis έγραψε: Πρόβλημα 6. Σε τρίγωνο με την γωνία ίση με , φέρουμε την διάμεσο . Η ευθεία είναι η συμμετρική της ως προς το ύψος $BB_{1}$ και η ευθεία η συμμετρική της ως προς το ύψος $CC_{1}$ . Οι ευθείες και τέμνονται στο σημείο . Να αποδείξετε, ότι .

: Moscow 2017.png (26.96 KiB) Προβλήθηκε 1787 φορές

Έστω $\displaystyle{G}$ το βαρύκεντρο του τριγώνου ABC

. Θεωρούμε την ομοιοθεσία $\displaystyle{\mathcal{H}\left( {G, - 2} \right)}$ με κέντρο $\displaystyle{G}$ και λόγο

. Αν $\displaystyle{A' = \mathcal{H}\left( A \right),}$ $\displaystyle{B' = \mathcal{H}\left( B \right)}$ και $\displaystyle{C' = \mathcal{H}\left( C \right),}$ τότε τα σημεία A, B

και

είναι τα μέσα των πλευρών $\displaystyle{B'C',}$ $\displaystyle{C'A'}$ και $\displaystyle{A'B'}$ του τριγώνου $\displaystyle{A'B'C'}$ αντίστοιχα. Επίσης, οι ευθείες $\displaystyle{B{B_1}}$ και $\displaystyle{C{C_1}}$ είναι μεσοκάθετοι των πλευρών $\displaystyle{C'A'}$ και $\displaystyle{A'B'}$ αντίστοιχα.

Παρατηρούμε ότι το σημείο $\displaystyle{{A'}}$ ανήκει στην ευθεία AM.

Άρα, το σημείο $\displaystyle{{B'},}$ που είναι το συμμετρικό του $\displaystyle{{A'}}$ ως προς την ευθεία $\displaystyle{C{C_1}},$ θα ανήκει στην ευθεία

. Όμοια, το σημείο $\displaystyle{{C'},}$ που είναι το συμμετρικό του $\displaystyle{{A'}}$ ως προς την ευθεία $\displaystyle{B{B_1}},$ θα ανήκει στην ευθεία

.

Με το συμβολισμό των γωνιών όπως στο σχήμα, θα έχουμε ότι:

$\displaystyle{\omega = {180^ \circ } - 2x}$
και
$\displaystyle{\varphi = {180^ \circ } - 2y.}$

Άρα, είναι:

$\displaystyle{\omega + \varphi = {360^ \circ } - 2\left( {x + y} \right) = {360^ \circ } - 2\left( {{{180}^ \circ } - {{45}^ \circ }} \right) = {90^ \circ }.}$

Συνεπώς, το τρίγωνο $\displaystyle{B'XC'}$ είναι ορθογώνιο στο $\displaystyle{X}$ και άρα η διάμεσός του

θα είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας $\displaystyle{B'C'.}$ Έτσι, βρίσκουμε ότι:

$\displaystyle{AX = \frac{{B'C'}}{2} = BC}$

και η απόδειξη ολοκληρώνεται.

Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2017 (9η τάξη)

Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2017 (9η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2017 (9η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2017 (9η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2017 (9η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2017 (9η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2017 (9η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2017 (9η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2017 (9η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2017 (9η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2017 (9η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2017 (9η τάξη)

Μέλη σε σύνδεση