Προκριματικός Διαγωνισμός 2017

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

Θέματα μεγάλων

1) Δίνεται οξυγώνιο σκαληνό τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο (με ) και τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου με τις πλευρές , αντίστοιχα, Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου τέμνει τον στο .Ο περιγεγραμμένος του τέμνει τον στο . Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου τέμνει τον στο .
Να δείξετε ότι
α) Το είναι εγγράψιμο.
β)Οι συντρέχουν

Η πρώτη μου άσκηση που λύνω με αντιστροφή (συμπτωματικά χτες διάβασα πρώτη φορά για την αντιστροφή για αυτό συγχωρήστε πιθανά λάθη )

a) Έστω ότι το είναι το έγκεντρο του τριγώνου . Το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο, καθώς . Όμοια τα και . Άρα οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων , και περνάνε από το .

Θεωρούμε τον εγγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου κύκλο αντιστροφής με κέντρο . Επειδή οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων , και περνάνε από το , έχουμε ότι αυτοί οι κύκλοι μετατρέπονται στις ευθείες και , που είναι οι κοινές χορδές των κύκλων αντίστοιχα με τον εγγεγραμμένο.

Ακόμη έστω τα μέσα των και αντίστοιχα. Τότε το αντίστροφο του είναι το , του το και του το . Άρα ο αντίστροφος κύκλος του περιγεγραμμένου του είναι ο κύκλος που ορίζεται από τα .

Έστω πως αυτός ο κύκλος τέμνει τις και και στα και αντίστοιχα. Τότε το είναι το αντίστροφο του , είναι το αντίστροφο του και το αντίστροφο του . Το ζητούμενο λοιπόν μετατρέπεται στο να αποδείξουμε πως το είναι εγγράψιμο.

Όμως το είναι εγγράψιμο (τα είναι σημεία του αντίστροφου κύκλου του περιγεγραμμένου του ).

Αρκεί λοιπόν να αποδείξουμε πως , το οποίο είναι προφανές επειδή τα και είναι μέσα των και αντίστοιχα.

b) Θα χρησιμοποιήσουμε την ίδια αντιστροφή.

Όμως ο κύκλος που περνάει από τα είναι ο κύκλος του τριγώνου DEF. Άρα τα είναι τα ίχνη των υψών από τα αντίστοιχα, άρα οι ευθείες και είναι ύψη του DEF. Ακόμη οι ευθείες και μετατρέπονται στους κύκλους που περνούν από τα σημεία , και αντίστοιχα.

Αρκεί να αποδείξουμε πως αυτοί οι κύκλοι περνούν από ίδιο σημείο διαφορετικό του .

Έστω το ορθόκεντρο του τριγώνου DEF και έστω το σημείο τομής του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου και της ευθείας .

Θα αποδείξουμε πως ο περιγεγραμμένος κύκλος του περνάει από το . Αρκεί το να είναι εγγράψιμο, δηλαδή να ισχύει ότι .

Όμως από το εγγράψιμο έχουμε ότι . Αρκεί λοιπόν , που ισχύει επειδή τα τρίγωνα και είναι όμοια.

Με παρόμοιο τρόπο αποδεικνύεται ότι και ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου περνάει από το .

Πράγματι λοιπόν οι κύκλοι συντρέχουν στο .

Edit: Έγιναν κάποιες διορθώσεις.

[socrates]

Θέματα μεγάλων

1) Δίνεται οξυγώνιο σκαληνό τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο (με ) και τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου με τις πλευρές , αντίστοιχα, Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου τέμνει τον στο .Ο περιγεγραμμένος του τέμνει τον στο . Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου τέμνει τον στο .
Να δείξετε ότι
α) Το είναι εγγράψιμο.
β)Οι συντρέχουν

viewtopic.php?p=110783#p110783

Θέματα μεγάλων

3) Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις που ορίζονται από τους πραγματικούς στους πραγματικούς έτσι ώστε:
για κάθε πραγματικό .
και

viewtopic.php?p=40371#p40371

[christodoulos703]

Τα αποτελέσματα νομίζω θα βγουν σήμερα το βράδυ ή αύριο.Ξερει κανείς καλύτερα;

[Γιάννης Μπόρμπας]

Πρόβλημα 4 Seniors
Με την υπόδειξη του κ.Δημήτρη:
Θεωρούμε την εξίσωση: και έστω μία ρίζα της.
Τότε θα είναι και ρίζα της εξίσωσης:
άρα της . Από τα παραπάνω έχουμε ότι:
(1)
(2)
Στην συνέχεια, τοποθετούμε βάρη στους αριθμούς που είναι αρχικά γραμμένοι στον πίνακα, έτσι ώστε ο αριθμός
να έχει βάρος . Αν ονομάσουμε το άθροισμα των βαρών που είχαμε αρχικά, τότε παρατηρούμε ότι
σε κάθε κίνηση, το άθροισμα παραμένει αναλλοίωτο. Επίσης: .
Όμως, αν μπορούσαμε να γράψουμε τον αριθμό στον πίνακα, τότε το βάρος του θα έπρεπε να ήταν μικρότερο ή ίσο
με το άθροισμα των βαρών που είχαμε αρχικά (Στην περίπτωση που απέμενε μόνο ο αριθμός θα ίσχυε η ισότητα).
Οπότε: . Όμως λόγω της (2) καταλήγοντας σε άτοπο.
Ο αριθμός προέρχεται από τους άρα

[mikemoke]

Θέματα μεγάλων

1) Δίνεται οξυγώνιο σκαληνό τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο (με ) και τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου με τις πλευρές , αντίστοιχα, Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου τέμνει τον στο .Ο περιγεγραμμένος του τέμνει τον στο . Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου τέμνει τον στο .
Να δείξετε ότι
α) Το είναι εγγράψιμο.
β)Οι συντρέχουν

2) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός ,όπου θετικός ακέραιος, είναι ακέραιος και έχει παράγοντα το

3) Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις που ορίζονται από τους πραγματικούς στους πραγματικούς έτσι ώστε:
για κάθε πραγματικό .
και

4) Στον πίνακα είναι γραμμένοι αρχικά κάποιοι, διαφορετικοί ανά δύο , θετικοί ακέραιοι.
Κάνουμε κάθε φορά μία από τις ακόλουθες κινήσεις:
α) Αν ανάμεσα στους αριθμούς υπάρχουν δύο διαδοχικοί , έστω , τότε μπορούμε να τους σβήσουμε και να γράψουμε τον αριθμό .
β) Αν είναι γραμμε΄νοι δύο αριθμόι που απέχουν κατά , έστω , μπορούμε να τους σβήσουμε και να γράψουμε τον αριθμό .
Κατά τη διάρκεια της διαδικασίας μπορούν να προκύπτουν και αρνητικοί αριθμοί στον πίνακα. Αν δεν μπορούμε να κάνουμε κάποια από τις παραπάνω κινήσεις η διαδικασία τελειώνει.Να προσδιορίσετε τη μέγιστη δυνατή τιμή του ακεραίου με την ακόλουθη ιδιότητα:
Ανεξάρτητα με το ποιο αριθμοί είναι γραμμένοι αρχικά , σε όλη τη διαδικασία , όλοι οι αριθμοί που είναι γραμμένοι στον πίνακα να είναι μεγαλύτεροι ή ίσοι από .

Oι αρχικοί αριθμοί πρέπει να είναι διαδοχικοί δηλαδή 132456879 είναι δυνατό

[JimNt.]

Βγήκαν τα αποτελέσματα. Συγχαρητήρια σε όλους!

[christodoulos703]

Καλή επιτυχία και φώτιση σε όλους και ειδικά στην ομάδα που θα μας εκπροσωπήσει!!!!

[Μπάμπης Στεργίου]

Συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά που συμμετείχαν στον προκριματικό και καλή επιτυχία στην

ολυμπιακή μας ομάδα !!! Αυτές οι διακρίσεις είναι η αρχή ενός δύσκολου αλλά γεμάτου συγκινήσεις

δρόμου, που θα σας χαρίσει ακόμα μεγαλύτερες χαρές και καταξίωση. Εκείνο όμως που θα σας κάνει να

σας θαυμάζει ολόκληρη η ανθρωπότητα είναι ο συνδυασμός της μαθηματικής γνώσης που συνεχώς

θα διευρύνεται με την βαθειά κλασική Ελληνική παιδεία, που καθημερινά και με σωστή μελέτη

θα ολοκληρώνει την προσωπικότητά σας . Με αυτά τα προσόντα όλες οι πόρτες θα είναι πάντα ανοικτές!



Μπ

[AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ]

Συγχαρητήρια σε όλους και ευχές για μετάλλια στις Βαλκανιάδες και Ολυμπιάδες!

[george visvikis]

Συγχαρητήρια σε όσους συμμετείχαν στον Προκριματικό

και Καλή Συνέχεια στην Ολυμπιακή μας Ομάδα!

[Γιάννης Μπόρμπας]

Συγχαρητήρια στους επιτυχόντες! Άμα δεν σε θέλει όμως... 14ος...

[nickthegreek]

Συγχαρητήρια σε όλους τους συμμετέχοντες και στους διακριθέντες!

Από εκεί και πέρα, ας μου επιτραπεί να πω ότι θεωρώ το 4ο θέμα διαμάντι για έναν τέτοιο διαγωνισμό.

Θεωρώ πως αξίζει να ειπωθεί και να γίνει κατανοητό ότι σε αυτά πλέον τα επίπεδα η ίδια η ποιότητα των θεμάτων φέρει ιδιαίτερα βαρύνουσα σημασία στην ανάδειξη της καλύτερης δυνατής άδας (για πολλούς λόγους).

Από αυτή τη σκοπιά, πιστεύω ότι τα θέματα ήταν εύστοχα. Συγχαρητήρια στην επιτροπή λοιπόν για όλα τα θέματα κι εύχομαι κάθε χρόνο αυτά να συνεχίσουν στο ίδιο (τουλάχιστον) επίπεδο, όπως είπε κι ο Νίκος στην προηγούμενη σελίδα.

[achilleas]

...

2) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός ,όπου θετικός ακέραιος, είναι ακέραιος και έχει παράγοντα το

...

Ακολουθεί η λύση που έκανε ο μαθητής μας Νικόλαος Ευγενίδης, η οποία όμως βαθμολογήθηκε μόνο με 2 μονάδες:

*****************************
Είναι .

Βγάζοντας κοινό παράγοντα το 2 από τους άρτιους στον αριθμητή έως τον και το 4 από τον , έχουμε



Απέδειξε ότι το γινόμενο διαδοχικών ακεραίων διαιρείται με το και ολοκλήρωσε έτσι την απόδειξη.

*****************************

Δε βλέπω λάθος, οπότε αν δεν μας έχει ξεφύγει κάτι, οι 2 μονάδες φαίνοναι κάπως λίγες.

Φιλικά,

Αχιλλέας

[silouan]

Απέδειξε ότι το γινόμενο διαδοχικών ακεραίων διαιρείται με το και ολοκλήρωσε έτσι την απόδειξη

Η απόδειξη για τον τελευταιο ισχυρισμο είχε αρκετά κενά και κάποια λαθάκια.

[silouan]

Θεωρώ βέβαια ότι αυτός δεν είναι ο σωστός τόπος για να γίνονται βαθμολογικής φύσεως συζητήσεις.
Τα θέματα αυτά αφορούν τον υποψήφιο και την επιτροπή διαγωνισμών.
Στις περιπτώσεις αμφιβολίας, ο υποψήφιος πρέπει να απευθυνθεί με προβλεπόμενες διαδικασίες στους αρμόδιους.
Τα λάθη είναι ανθρώπινα και μπορεί να έχουν γίνει από κάποια από τις δύο πλευρές.

[achilleas]

Θεωρώ βέβαια ότι αυτός δεν είναι ο σωστός τόπος για να γίνονται βαθμολογικής φύσεως συζητήσεις.
Τα θέματα αυτά αφορούν τον υποψήφιο και την επιτροπή διαγωνισμών.
Στις περιπτώσεις αμφιβολίας, ο υποψήφιος πρέπει να απευθυνθεί με προβλεπόμενες διαδικασίες στους αρμόδιους.
Τα λάθη είναι ανθρώπινα και μπορεί να έχουν γίνει από κάποια από τις δύο πλευρές.

Κανένα πρόβλημα, Σιλουανέ!

Πάντως, απλά είχε την καλοπροαίρετη περιέργεια να μάθει που έκανε λάθος.

Ποιες είναι οι προβλεπόμενες διαδικασίες; Υποθέτω ότι ο Νίκος δεν τις γνώριζε και ίσως φανούν χρήσιμες σε κάποιον στο μέλλον.

Απέδειξε ότι το γινόμενο διαδοχικών ακεραίων διαιρείται με το και ολοκλήρωσε έτσι την απόδειξη

Η απόδειξη για τον τελευταίο ισχυρισμο είχε αρκετά κενά και κάποια λαθάκια.

Παρεμπιπτόντως, ο ισχυρισμός αυτός είναι πολύ γνωστός, αν και πιστεύω ότι χρειάζεται απόδειξη.

Επανέρχεται, πάντως, το ερώτημα για το τι μπορεί να χρησιμοποιήσει ο διαγωνιζόμενος χωρίς απόδειξη και τι όχι από εδώ.

Φιλικά,

Αχιλλέας

[silouan]

Η προβλεπόμενη διαδικασία είναι επικοινωνία με τον προεδρο της επιτροπής διαγωνισμών ή την ΕΜΕ και αίτηση για αμφιβολία για το βαθμό.

Αχιλλέα το ξέρω ότι είναι γνωστό. Αν για παράδειγμα υπήρχε στο γραπτό κάτι του τύπου
Επικαλούμαι την ακόλουθη προταση:
Το γινόμενο n διαδοχικών διαρειται από n!, τότε εγώ προσωπικά θα το δεχόμουν, έστω και χωρίς απόδειξη.

Στην περίπτωση μας δεν έγινε τέτοιου είδους αναφορά. Επίσης αν ο μαθητής ήξερε την πρόταση αυτή θα την αποδείκνυε και σε μια γραμμή με το διωνυμικόνομα πιστεύω.

Το παραπάνω επιχείρημα υπήρχε στο γραπτό διαφόρων μαθητών (μπορεί και σε 10 γραπτά) αλλά μόνο ένας έκανε το σωστό τελείωμα.
Έγινε λοιπόν νέο σχέδιο βαθμολόγησης για αυτή τη λύση.
Το λάθος που έκαναν οι περισσότεροι μαθητές είναι ότι για προσπαθούσαν να βρουν ακριβώς έναν παράγοντα του αριθμητή που να διαιρείται με k.
Άλλοι έψαχναν απλοποίηση των πρώτων παραγόντων χωρίς να παίρνουν υπόψη τη δύναμη του πρώτου, κτλ.

Στα μάτια μου κάνεις από τους παραπάνω δεν φάνηκε να αναγνωρίζει τη γνωστή πρόταση στην περίπτωσή μας.

[achilleas]

...

Αχιλλέα το ξέρω ότι είναι γνωστό. Αν για παράδειγμα υπήρχε στο γραπτό κάτι του τύπου
Επικαλούμαι την ακόλουθη προταση:
Το γινόμενο n διαδοχικών διαρειται από n!, τότε εγώ προσωπικά θα το δεχόμουν, έστω και χωρίς απόδειξη.

...

Mια πρόχειρη αναζήτηση στο mathematica έδειξε αυτό το πρόσφατο θέμα.

Με περισσότερο χρόνο, μπορούμε να βρούμε κι άλλα θέματα που έχει χρησιμοποιηθεί στο forum, που είναι πολλά!

Για παράδειγμα,μπορεί να δει την πιο απλή απόδειξη εδώ.

Anyway...

Φιλικά,

Αχιλλέας

[silouan]

Για παράδειγμα,μπορεί να δει την πιο απλή απόδειξη εδώ.

Αχιλλέα αναφέρθηκα σε αυτή την απόδειξη στο ποστ μου. Ξαναλέω, ότι αν από το γραπτό ήταν σαφές ότι ο μαθητής γνωρίζει την πρόταση, και την επικαλουνταν εγώ ως διορθωτής του συγκεκριμένου θέματος θα το δεχόμουν.
Κανείς μαθητής δεν ανέφερε αυτή την πρόταση σαφώς.

Πάντως στο πρώτο λινκ η λάθος λύση που έκανε ο Χάρης ήταν το πιο κοινό λάθος στα επιχειρήματα που είδα.
Δηλαδή, βρίσκω ότι υπάρχει ένας στον αριθμητή που τον διαιρεί ο ας πούμε, και έναν που τον διαιρει ο 5. Αυτός μπορεί να είναι κοινός και έτσι να μην απλοποιούνται ταυτόχρονα ο και ο .

[achilleas]

Για παράδειγμα,μπορεί να δει την πιο απλή απόδειξη εδώ.

Αχιλλέα αναφέρθηκα σε αυτή την απόδειξη στο ποστ μου. ...

Σιλουανέ, το κατάλαβα με την πρώτη. Ευχαριστώ πάντως!

Το ζήτημα θεωρείται λήξαν!