Βρείτε τις συναρτήσεις!

M.S.Vovos · #1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}^{+}\rightarrow \mathbb{R}^{+}$ , για τις οποίες ισχύει:
$f\left ( x^{2}+y^{2} \right )+2f(x)f(y)=(x+y)^{2}$ , για κάθε $x,y\in \mathbb{R}^{+}$ Φιλικά,
Μάριος

jason.prod · #2

Δίνω δύο λύσεις, εκ μέρους του Ραφαήλ Τσιάμη.

Λύση 1η (που είναι και η πιο εύκολη):

Από την αρχική παίρνουμε ότι:
$f(x^2+y^2) < f(x^2+y^2)+2f(x)f(y) = (x+y)^2 \le 2(x^2+y^2)$ , οπότε για κάθε

ισχύει

.
Εφαρμόζοντας στην αρχική έχουμε ότι f(x^2+y^2) = (x+y)^2-2f(x)f(y) > (x+y)^2-8xy = x^2 - y(6x-y)

. Κάνοντας τώρα την αντικατάσταση
$(x,y)->(\sqrt{x-\epsilon},\epsilon)$ , θα πάρουμε ότι $f(x)>x- \epsilon A$ , με Α μια παράσταση του

. Θεωρώντας ότι
$\epsilon->0$ , παίρνουμε ότι $f(x) \ge x$ , για κάθε θετικό πραγματικό, οπότε χρησιμοποιώντας την αρχική έχουμε ότι
$(x+y)^2=f(x^2+y^2)+2f(x)f(y) \ge x^2+y^2+2xy$ , οπότε έχουμε παντού ισότητα και έτσι η ζητούμενη συνάρτηση είναι η f(x)=x.

Λύση 2η (πιο δύσκολη):

Η αρχική για $x=y=\frac{1}{2}$ δίνει ότι $f(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}$ .
Αν στην αρχική βάλουμε $y->\frac{1}{2}$ , θα πάρουμε ότι $f(x^2+\frac{1}{4})-(x^2+x+\frac{1}{4})=f(x)<0$ .
Τώρα, έχουμε ότι για κάθε

"αρκετά μεγάλο" υπάρχει $\epsilon>0$ ώστε για κάθε x>M

να ισχύει ότι
$\epsilon(x^2+\frac{1}{4})>x$ , οπότε παίρνουμε ότι $1+\epsilon>\frac{f(x)}{x}$ .
Ομοίως παίρνουμε ότι $\frac{f(x)}{x}>1-\epsilon$ , για όλα τα κατάλληλα

.
Για

στην αρχική, έχουμε ότι f(2x^2)+2f(x)^2 = 4x^2

, οπότε για όλα τα κατάλληλα

πάλι έχουμε ότι
$(1-\epsilon)2x^2<4x^2-2f(x)^2<(1+\epsilon)2x^2 \iff 1+\epsilon>(\frac{f(x)}{x})^2>1-\epsilon$ , για όλα τα κατάλληλα

.
Συνεχίζοντας ομοίως και σταθεροποιώντας ένα

κάθε φορά, παίρνουμε ότι $1+\epsilon>[\frac{f(x)}{x}]^{2^n}>1-\epsilon$ , για κάθε

φυσικό, το οποίο δίνει ότι f(x)=x

, για όλα τα μεγάλα

, αφού αλλιώς επιλέγουμε κατάλληλα τον εκθέτη, που δίνει άτοπο.
Άρα, υπάρχει σταθερά

, ώστε για κάθε x>C

να ισχύει

.
Επιλέγοντας ένα τέτοιο

, έχουμε ότι x^2+y^2>x>C

, άρα, η αρχική δίνει f(y)=y

, για κάθε πραγματικό

.

Βρείτε τις συναρτήσεις!

Βρείτε τις συναρτήσεις!

Re: Βρείτε τις συναρτήσεις!

Μέλη σε σύνδεση