Συλλογή Ασκήσεων

Κατερινόπουλος Νικόλας · #241

sidchris έγραψε:Άσκηση 3η

Έστω ένας διψήφιος αριθμός. Αν αντιστρέψουμε τα ψηφία και τους προσθέσουμε ή τους αφαιρέσουμε τότε οι αριθμοί που προκύπτουν είναι τέλεια τετράγωνα. Ποιος είναι ο διψήφιος αυτός αριθμός;

O $\overline{a\beta}$ αν αντιστραφεί, θα γίνει $\overline{\beta a}$ . Άρα $\beta-a=x^{2}$ και $a+\beta=y^{2}$ .

Θα πρέπει $\beta \geq a$ .

$\cdot$ Για $a=\beta$ , πρέπει $a-\beta=0$ . Άρα, επειδή το

είναι το μοναδικό μονοψήφιο άρτιο τέλειο τετράγωνο, για να ισχύει $a+\beta=y^{2}$ , έχω: $\boxed{(a,b)=(2,2)}$

$\cdot$ Για $a>\beta$ , πρέπει $\beta-a>0$ αλλά $\beta-a \leq 8$ . Άρα πρέπει $\beta-a=1$ ή $\beta-a=4$ .

Αν $\beta-a=1$ ,(με περιπτώσεις πολλές-δε χρειάζεται να τις αναφέρω) $\boxed{(a, \beta)=(4,5)}$

Αν $\beta-a=4$ ,(το ίδιο) δεν έχουμε δυνατές περιπτώσεις.

Άρα $\boxed{\overline{a\beta}=45}$ , $\boxed{\overline{a\beta}=22}$

Κατερινόπουλος Νικόλας · #242

sidchris έγραψε: Άσκηση 21η
Στο παραπάνω σχήμα η περίμετρος του $\displaystyle{AE\Delta}$ είναι 12.Να βρεθεί η περίμετρος του $\displaystyle{\Delta B \Gamma E}$

Επειδή η περίμετρος του $\displaystyle{AE\Delta}$ είναι

, $\Delta E=5$ . Αφού ισχύει $\Delta E^2=A\Delta^2+AE^2$ , έχω ότι $\hat A=90^o.$

Κάνω Π.Θ. στο τρίγωνο $AB\Gamma$ :

$A\Gamma^2=B\Gamma^2-AB^2=13^2-5^2=169-25=144$ , οπότε $A\Gamma=12$

Άρα $E\Gamma=9$ και η περίμετρος του $\Delta B \Gamma E$ είναι: $\boxed{\Delta E+\Delta B+B \Gamma+\Gamma E=5+1+13+9=28}$

Κατερινόπουλος Νικόλας · #243

sidchris έγραψε:Ασκηση 11η

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma }$ με $\displaystyle{AB = {\rm A}\Gamma = 8}$ και $\displaystyle{\Delta \Gamma = 1.}$ .Αν $\mathrm{B\Delta }$ είναι ύψος ,να βρεθεί η περίμετρος του $\displaystyle{AB\Gamma }$

Κύριε Χρήστο, καλό μήνα!

Αν $A \Gamma=8, \Delta \Gamma=1$ έχω $A \Delta=7$

Κάνω Π.Θ. στο $AB\Delta$ :

$AB^{2}=A\Delta^{2}+\Delta B^{2} \Rightarrow \Delta B=\sqrt{15}$

Κάνω Π.Θ. στο $\Delta B \Gamma$ :

$B \Gamma^{2}=\Delta \Gamma^{2}+B \Delta^{2} \Rightarrow B \Gamma^{2}=16 \Rightarrow \boxed{B \Gamma=4}$

Κατερινόπουλος Νικόλας · #244

sidchris έγραψε:Ασκηση 12η

Δίνεται το τραπέζιο $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ με $\displaystyle{A\Delta =4}$ και $\displaystyle{B\Gamma =5}$ .Αν η περίμετρος του $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ ειναι 22 να βρεθεί
α)το εμβαδό του τραπεζίου
β)Να δειχθεί ότι η $\displaystyle{B\Delta}$ είναι διχοτόμος της γωνίας $\hat{B}$

Ε $AB \Gamma \Delta=\dfrac{(\beta+B)\cdot \upsilon}{2}=26$
$(\beta)$ Φέρνω ύψος $\Gamma E.$ Άρα, $A\Delta ||=\Gamma E=4$ . Κάνω Π.Θ. στο $\Gamma EB$ :

$\Gamma E^{2}=BE^{2}+B \Gamma^{2} \Rightarrow BE=3$ . Άρα, έχω:

$A \Gamma=\dfrac{22-A \Delta-\Gamma B-BE}{2}=5$ . Επομένως, το τρίγωνο $B \Delta \Gamma$ ισοσκελές. Ως εντός εναλλάξ, $\hat{B \Delta \Gamma}=\hat{\Gamma \Delta B}$ οπότε $\displaystyle{B\Delta}$ διχοτόμος της $\hat{B}$

Κατερινόπουλος Νικόλας · #245

Θα βάλω μια λύση ενός θέματος εδώ .

Κατερινόπουλος Νικόλας · #246

sidchris έγραψε:Άσκηση 100η
Στο παρακάτω σχήμα να βρεθεί η περίμετρος του αν $\widehat{ACB}=90^\circ$ , $AZ=2\sqrt2$ και

Αφού $AZ=ZB=2\sqrt2$ , από Πυθαγόρειο Θεώρημα , AB=4

. Αφού $sin\widehat{BAC}=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{1}{2}$ , κάνω Πυθαγόρειο Θεώρημα στο $\overset{\triangle}{ABC}$ :

$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}\Rightarrow 3BC^{2}=16\Rightarrow AC=2BC=\dfrac{8}{\sqrt{3}}$ . Αφού $\overset{\triangle}{BDC}$ ισόπλευρο , $BC=CD=BD=\dfrac{4}{\sqrt3}$ .

Συνεπώς , η περίμετρος του AZBDC

είναι :

$4\sqrt2+\dfrac{16}{\sqrt3}=\dfrac{4\sqrt24}{\sqrt3}+\dfrac{16}{\sqrt3}=\boxed{\dfrac{4(\sqrt24+4)}{\sqrt3}}$

: Συλλογή Ασκήσεων.png (20.9 KiB) Προβλήθηκε 1756 φορές

Κατερινόπουλος Νικόλας · #247

sidchris έγραψε:Άσκηση 99η
Στο παρακάτω σχήμα το τρίγωνο $AB\Gamma$ είναι ισοσκελές με βάση $B\Gamma$ . Να βρεθεί το εμβαδο του $AB\Gamma$

Αφού $AB\Gamma$ ισοσκελές , $\widehat{\Gamma}=30^{\circ}, \widehat{A}=120^{\circ}$ . Επίσης , αφού $AB\Delta$ ισοσκελές με $\widehat{BA\Delta}=30^{\circ}$ , $\Delta A\Gamma=90^{\circ}$ . Οπότε , $\eta \mu \Gamma=\dfrac{A\Delta}{\Delta \Gamma}=\dfrac{1}{2}=\dfrac{4}{8}$ . Άρα , με Π.Θ. στο $A\Delta \Gamma$ , $A\Gamma=AB=\sqrt{48}$ . Φέρνω την

, μεσοκάθετο της $B\Gamma$ . Έχω $BE=\Gamma E=6$ . Με Π.Θ. στο AEB

έχω ότι $AE=\sqrt{12}$ . Συνεπώς , το εμβαδόν του $AB\Gamma$ είναι :

$\dfrac{\beta\cdot\upsilon}{2}=\dfrac{12\cdot\sqrt{12}}{2} \Rightarrow \boxed{(AB\Gamma)=12\sqrt{3}}$

Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Μέλη σε σύνδεση