Ανισότητα από MR

harrisp · #1

Αν

μη αρνητικοί πραγματικοί νδο:

$\displaystyle {\sum \sqrt{2a^2+3b^2+4c^2} \geq (\sum \sqrt {a})^2}$

ΥΓ. Εχω μια ωραία, πιστεύω, λύση. Αν δεν δοθεί θα την γράψω.

JimNt. · #2

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:Αν μη αρνητικοί πραγματικοί νδο:

$\displaystyle {\sum \sqrt{2a^2+3b^2+4c^2} \geq (\sum \sqrt {a})^2}$

ΥΓ. Εχω μια ωραία, πιστεύω, λύση. Αν δεν δοθεί θα την γράψω.

Από την ανισότητα των δυνάμεων για κάθε ρίζα ξεχωριστά έχουμε $LHS \ge \dfrac{9(a+b+c)}{3}=3(a+b+c)$ . Αρκεί να δειχθεί ότι $3(a+b+c) \ge (\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2$ , που ισχύει από την γνωστή $3(x^2+y^2+z^2)\ge (x+y+z)^2$ , για $x=\sqrt{a}$ , $y=\sqrt{b}$ και $z=\sqrt{c}$ .

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #3

Εναλλακτικά:

Από Minkowski παίρνουμε ότι:

$\sqrt{a^2+a^2+b^2+b^2+b^2+c^2+c^2+c^2+c^2}+\sqrt{b^2+b^2+b^2+c^2+c^2+a^2+a^2+a^2+a^2}+\sqrt{c^2+c^2+a^2+a^2+a^2+b^2+b^2+b^2+b^2}\geq \sqrt{9(a+b+c)^2}=3(a+b+c)...$

harrisp · #4

Ωραίες και οι δύο λύσεις!

Η δικιά μου είναι του Διονύση.

Υπάρχει λύση και με Jensen.

thrassos · #5

Καλησπέρα παιδιά,
Μία προσπάθεια με Jensen.
Αφού $f(x)=\sqrt{x}$ κοίλη έπεται ότι $RHS\leq 3(a+b+c)$ και άρα αρκεί πλέον να αποδείξουμε ότι $LHS\geq 3(a+b+c)$ .
Δεν ξέρω Χάρη αν εννοούσες διαφορετική εφαρμογή της Jensen.

Ανισότητα από MR

Ανισότητα από MR

Re: Ανισότητα από MR

Re: Ανισότητα από MR

Re: Ανισότητα από MR

Re: Ανισότητα από MR

Μέλη σε σύνδεση