Calm 2

erxmer · #1

Δίνεται η παραγωγίσισμη συνάρτηση $f:[0,+\infty) \to R$ ώστε $\displaystyle{\bigstar f(0)=1 \\ \\ \bigstar \,\,\,\,\,\,\,\,f'(x)=2xf(x)$

1) Nα αποδειχθεί οτι $\displaystyle{f(x)=e^{x^2}}$

Aν

μία αρχική της

στο $[0,+\infty)$ με F(0)=0

2) Nα αποδειχθεί οτι είναι κυρτή και να βρεθεί η εφαπτομένη της C_F

στο

3) $\displaystyle{\lim_{x \to +\infty}\frac{f(x)}{xF(x)}}$

4) $\displaystyle{F(x+1)-F(x)>f(x), x \geq 0}$

5) Να λυθεί η εξίσωση $F(F(x))=F(x), x \geq 0$

#2

erxmer έγραψε:Δίνεται η παραγωγίσισμη συνάρτηση $f:[0,+\infty) \to R$ ώστε $\displaystyle{\bigstar f(0)=1 \\ \\ \bigstar \,\,\,\,\,\,\,\,\frac{f(x)-f(y)}{x-y}=(x+y)f(\frac{x+y}{2}),x,y \geq 0,x \neq y}$

1) Nα αποδειχθεί οτι $\displaystyle{f(x)=e^{x^2}}$

Aν μία αρχική της στο $[0,+\infty)$ με

2) Nα αποδειχθεί οτι είναι κυρτή και να βρεθεί η εφαπτομένη της στο

3) $\displaystyle{\lim_{x \to +\infty}\frac{f(x)}{xF(x)}}$

4) $\displaystyle{F(x+1)-F(x)>f(x), x \geq 0}$

5) Να λυθεί η εξίσωση $F(F(x))=F(x), x \geq 0$

Δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση.

Tolaso J Kos · #3

socrates έγραψε:
Δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση.

Όντως,

η αρχική δεν επαληθεύεται. Με βάση το πάνω κάνω μία αλλαγή στην άσκηση.

erxmer έγραψε:Δίνεται η παραγωγίσισμη συνάρτηση $f:[0,+\infty) \to R$ με $f(x)=e^{x^2}$ .

Aν μία αρχική της στο $[0,+\infty)$ με

1) Nα αποδειχθεί οτι είναι κυρτή και να βρεθεί η εφαπτομένη της στο

2) $\displaystyle{\lim_{x \to +\infty}\frac{f(x)}{xF(x)}}$

3) $\displaystyle{F(x+1)-F(x)>f(x), x \geq 0}$

4) Να λυθεί η εξίσωση $F(F(x))=F(x), x \geq 0$

Καταρχάς η

είναι γνήσια αύξουσα στο $[0, +\infty)$ αφού για $x_1, x_2 \in [0, +\infty)$ με x_1<x_2

είναι

(άμεσο κατασκευαστικά).

(α) Η ${\rm F}$ είναι παραγωγίσιμη στο $[0, +\infty)$ με ${\rm F}'(x)=f(x)$ για κάθε $x \in [0, +\infty)$ Η ${\rm F}'$ είναι γνήσια αύξουσα συνεπώς η ${\rm F}$ είναι κυρτή. Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης αυτής στο σημείο (0, 0)

έχει εξίσωση
$\displaystyle{y-{\rm F}(0)= {\rm F}'(0) (x - 0) \Leftrightarrow y =x}$ (β) Το όριο είναι της μορφής $\frac{\infty}{\infty}$ διότι ${\rm F}(x) \geq x$ (λόγω κυρτότητας) οπότε παίρνοντας όρια έχουμε $\lim \limits_{x \rightarrow +\infty} {\rm F}(x) = +\infty$ . Τότε από DLH έχουμε:
$\displaystyle{\begin{aligned} \ell &= \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{f(x)}{x {\rm F}(x)} \\ &= \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{f'(x)}{{\rm F}(x) + x f(x)}\\ &=\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{2x e^{x^2}}{{\rm F}(x) +x e^{x^2}} \\ &= 2\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{e^{x^2} + 2x^2 e^{x^2}}{2e^{x^2} + 2x^2 e^{x^2} } \\ &= 2 \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{2x^2+1}{2x^2+2} \\ &=2 \end{aligned}}$ (γ) Η ${\rm F}$ ικανοποιεί το Θεώρημα Μέσης Τιμής στο $[0,+\infty)$ οπότε υπάρχει $\xi_x \in [x, x+1]$ τέτοιο ώστε
$\displaystyle{{\rm F}\left ( x+1 \right ) - {\rm F}(x) = f\left ( \xi_x \right )> f(x)}$ διότι $\xi_x>x$ και επειδή η

είναι γνήσια αύξουσα το συμπέρασμα έπεται.

(δ) Η ${\rm F}$ είναι γνήσια αύξουσα αφού ${\rm F}'(x)=f(x)>0$ για κάθε $x \in [0, +\infty)$ . Οπότε η εξίσωση γράφεται διαδοχικά:
$\displaystyle{\begin{aligned} {\rm F}\left ( {\rm F}(x) \right ) = {\rm F}(x) &\!\!\!\ \overset{{\rm F} \;\; \begin{tikzpicture} \draw[thick , >->] (0, 0) -- (0, 0.3); \end{tikzpicture} }{\Leftarrow \! =\! =\! \Rightarrow } {\rm F}(x) = x \\ &\Leftrightarrow x =0 \end{aligned}}$ αφού η

είναι κυρτή και κατά συνέπεια η γραφική παράστασή της είναι πάνω από την εφαπτομένη με εξαίρεση το σημείο επαφής. Συνεπώς ${\rm F}(x) \geq x$ για κάθε $x \in [0, +\infty)$ με την ισότητα να ισχύει μόνο για x=0

.

erxmer · #4

Eπειδή με τις συναρτησιακές συμβαίνει καμια φορά, την άλλαξα με μια γνωστή σχέση που δίνει την συνάρτηση που θέλουμε.

Calm 2

Calm 2

Re: Calm 2

Re: Calm 2

Re: Calm 2

Μέλη σε σύνδεση