Πραγματικά Πραγματικοί!

Κατερινόπουλος Νικόλας · #1

Έστω

πραγματικοί θετικοί αριθμοί με τις παρακάτω σχέσεις.

x+y+xy=8

Να βρεθεί η τιμή της παράστασης: A=x+y+z+xyz

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

Έχουμε ότι:

$x+y+xy+1=9\Leftrightarrow (x+1)(y+1)=9$ (1)
$y+z+yz+1=16\Leftrightarrow (y+1)(z+1)=16$ (2)
$x+z+xz+1=36\Leftrightarrow (z+1)(x+1)=36$ (3)

Πολλαπλασιάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) κατά μέλη προκύπτει ότι:

(x+1)(z+1)(y+1)^2=144

(4)

Διαιρούμε τις (4) και (3) κατά μέλη και προκύπτει ότι:

(y+1)^2=4

και επειδή

θετικός πραγματικός έχουμε πως y=1

Εύκολα τώρα προκύπτει ότι $x=\dfrac{7}{2}$ και ότι z=7

Άρα

Κατερινόπουλος Νικόλας · #3

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:Έχουμε ότι:

$x+y+xy+1=9\Leftrightarrow (x+1)(y+1)=9$ (1)
$y+z+yz+1=16\Leftrightarrow (y+1)(z+1)=16$ (2)
$x+z+xz+1=36\Leftrightarrow (z+1)(x+1)=36$ (3)

Πολλαπλασιάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) κατά μέλη προκύπτει ότι:

(4)

Διαιρούμε τις (4) και (3) κατά μέλη και προκύπτει ότι:

και επειδή θετικός πραγματικός έχουμε πως

Εύκολα τώρα προκύπτει ότι $x=\dfrac{7}{2}$ και ότι

Άρα

Μπράβο Διονύση!!!

#4

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:Έστω πραγματικοί θετικοί αριθμοί με τις παρακάτω σχέσεις.

Να βρεθεί η τιμή της παράστασης:

Μάλλον αρκετά γνωστή, αλλά άντε βρες την. Ακόμα καλύτερα μπορούμε να βρούμε τα ίδια τα x,y,z

γράφοντας το σύστημα ως

(1+x)(1+y)=9

Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη και παίρνοντας ρίζα είναι $(1+x) (1+y)(1+z)=3\cdot 4 \cdot 6$ . Διαιρώντας με την πρώτη έχουμε 1+z=8

, και λοιπά.

Κατερινόπουλος Νικόλας · #5

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Μάλλον αρκετά γνωστή, αλλά άντε βρες την. Ακόμα καλύτερα μπορούμε να βρούμε τα ίδια τα γράφοντας το σύστημα ως

Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη και παίρνοντας ρίζα είναι $(1+x) (1+y)(1+z)=3\cdot 4 \cdot 6$ . Διαιρώντας με την πρώτη έχουμε , και λοιπά.

Γλυτώνουμε λίγο κόπο στο τέλος αν παρατηρήσουμε ότι

$A+1=(1+x) (1+y)(1+z)=3\cdot 4 \cdot 6$ , που το βρήκαμε.

Μου δίνετε λίγο χρόνο να το κοιτάξω;

Κατερινόπουλος Νικόλας · #6

Εντάξει, τώρα είναι μια χαρά!!!

#7

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε: Μου δίνετε λίγο χρόνο να το κοιτάξω;

Έχω κάνει διόρθωση.

Σήμερα έχω πάρα πολύ αργό ιντερνέτ και με παιδεύει αφάνταστα μέχρι να κάνω κάποια διόρθωση μεταξύ γραφής και Προεπισκόπησης/Υποβολής. Οπότε παρεμβλήθηκαν άλλες λύσεις πριν "φύγει" η δική μου και λοιπά.

Κατερινόπουλος Νικόλας · #8

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε: Μου δίνετε λίγο χρόνο να το κοιτάξω;
Έχω κάνει διόρθωση.

Σήμερα έχω πάρα πολύ αργό ιντερνέτ και με παιδεύει αφάνταστα μέχρι να κάνω κάποια διόρθωση μεταξύ γραφής και Προεπισκόπησης/Υποβολής. Οπότε παρεμβλήθηκαν άλλες λύσεις πριν "φύγει" η δική μου και λοιπά.

Εντάξει!

Κατερινόπουλος Νικόλας · #9

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Μάλλον αρκετά γνωστή, αλλά άντε βρες την.

Κι εγώ είχα ένα προαίσθημα ότι έχει ξαναμπεί, αλλά δεν τη βρήκα!

Πραγματικά Πραγματικοί!

Πραγματικά Πραγματικοί!

Re: Πραγματικά Πραγματικοί!

Re: Πραγματικά Πραγματικοί!

Re: Πραγματικά Πραγματικοί!

Re: Πραγματικά Πραγματικοί!

Re: Πραγματικά Πραγματικοί!

Re: Πραγματικά Πραγματικοί!

Re: Πραγματικά Πραγματικοί!

Re: Πραγματικά Πραγματικοί!

Μέλη σε σύνδεση