Ορθογώνιο και ισοσκελές

Γιώργος Μήτσιος · #1

Καλημέρα σε όλους !
Με αφετηρία το θέμα Κριτήριο 45άρας και με χρήση του σχήματος :

: 25-5-17 Τρίγωνο .. μισό τετραγώνου.PNG (8.25 KiB) Προβλήθηκε 943 φορές

Το τρίγωνο ABC

έχει $B\widehat{A}C=45^{0}$ και

ύψος του. Οι BS=BH..CE=CH

είναι $BS\parallel AH\parallel CE$ .

Οι παράλληλες από τα E,S

προς την

τέμνουν τις AB,AC

στα

αντιστοίχως. Αν

η τομή των ES,YZ

τότε

Να εξεταστεί αν το τρίγωνο BOC

είναι ορθογώνιο και ισοσκελές .

Σας ευχαριστώ εκ' των προτέρων .. Γιώργος .

nikkru · #2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:Καλημέρα σε όλους !
Με αφετηρία το θέμα Κριτήριο 45άρας και με χρήση του σχήματος :
25-5-17 Τρίγωνο .. μισό τετραγώνου.PNG
Το τρίγωνο έχει $B\widehat{A}C=45^{0}$ και ύψος του. Οι είναι $BS\parallel AH\parallel CE$ .

Οι παράλληλες από τα προς την τέμνουν τις στα αντιστοίχως. Αν η τομή των τότε

Να εξεταστεί αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές .

Σας ευχαριστώ εκ' των προτέρων .. Γιώργος .

Καλήμερα και από μένα ,

: Ορθογώνιο και ισοσκελές.png (14.24 KiB) Προβλήθηκε 925 φορές

Αφού

, τα ορθογώνια τρίγωνα BKY,AHB

είναι όμοια, όπως και τα CMZ,AHC

.

Έτσι, $\frac{CM}{MZ}=\frac{AH}{HC},\frac{YK}{BK}=\frac{BH}{AH}$ . Πολλαπλασιάζοντας τις τελευταίες κατά μέλη , έχουμε $\frac{CM \cdot YK}{MZ \cdot BK}=\frac{BH}{HC}$ .
Από το ορθογώνιο BCMS

είναι

άρα

.

Από τα ορθογώνια BCMS,SMEK

έχουμε

, έτσι

δηλαδή το

είναι το κέντρο του παραλληλογράμμου SZEY

.

Τέλος, προεκτείνοντας την

κατά τμήμα EN=BS=BH

δημιουργούμε τα ίσα τρίγωνα BCO, OEN

. Το τρίγωνο BCN

είναι ορθογώνιο και ισοσκελές οπότε η διάμεσος του προς την υποτείνουσα

δημιουργεί το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο BOC

.

Αφού δεν χρειάστηκε το μέτρο της γωνίας

, μάλλον ο Γιώργος θα έχει πιο εύκολη λύση.

Και πάλι καλημέρα,
Νίκος.

Ορέστης Λιγνός · #3

Καλημέρα Γιώργο και Νίκο.

Είναι BC=BH+HC=BS+EC

, οπότε

(1).

Έστω

το ορθόκεντρο του $\vartriangle ABC$ .

Από εδώ, AK=SZ=YE

.

Όμως, $SZ \parallel YE$ , και αφού SZ=YE

,

παραλληλόγραμμο.

Άρα, SO=OE

(2).

Παίρνουμε το μέσο

της

.

Το

είναι τραπέζιο, και αφού O,M

τα μέσα των SE,BC

, είναι $OM \parallel BS \parallel CE$ , και $OM=\dfrac{BS+CE}{2} \mathop = \limits^{(1)}\dfrac{BC}{2}$ , οπότε BC=2OM

(2).

Από την $OM \parallel BS \Rightarrow OM \perp BC$ (3).

Από (2), (3), είναι BM=MC=MO

και $OM \perp BC$ , οπότε $\vartriangle BOC$ ορθογώνιο και ισοσκελές.

Γιώργος Μήτσιος · #4

Kαλημέρα . Νίκο και Ορέστη σας ευχαριστώ πολύ για την κάλυψη του θέματος!

Πράγματι Νίκο (*) για την σχέση $SZ=\parallel YE$ (που δίνει το ZEYS

παραλληλόγραμμο )

δεν χρειάζεται το μέτρο της $B\widehat{A}C$ . Αν $B\widehat{A}C =45}^{0$ τότε ισχύει επιπλέον SZ=AH= YE

...

Για να μην αγνοήσουμε λοιπόν την $\widehat{A}$ θέτω ένα ακόμη ζητούμενο : Με την $B\widehat{A}C =45}^{0$ και AB+AC=4

Να βρεθεί (αν υπάρχει ) η ελάχιστη τιμή του (BOC)

.

(*) Η υπόθεση περί ονόματος ..

.. στο θέμα τούτο επιβεβαιώνεται !

Φιλικά Γιώργος.

Ορέστης Λιγνός · #5

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:Kαλημέρα . Νίκο και Ορέστη σας ευχαριστώ πολύ για την κάλυψη του θέματος!

Πράγματι Νίκο (*) για την σχέση $SZ=\parallel YE$ (που δίνει το παραλληλόγραμμο )

δεν χρειάζεται το μέτρο της $B\widehat{A}C$ . Αν $B\widehat{A}C =45}^{0$ τότε ισχύει επιπλέον ...

Για να μην αγνοήσουμε λοιπόν την $\widehat{A}$ θέτω ένα ακόμη ζητούμενο : Με την $B\widehat{A}C =45}^{0$ και

Να βρεθεί (αν υπάρχει ) η ελάχιστη τιμή του .

(*) Η υπόθεση περί ονόματος .. .. στο θέμα τούτο επιβεβαιώνεται !

Φιλικά Γιώργος.

Καλημέρα.

Έστω AB=c, AC=b, BC=a

.

Από το ορθογώνιο και ισοσκελές $\vartriangle BOC$ , $BO=CO=\dfrac{a\sqrt{2}}{2} \Rightarrow (BOC)=\dfrac{a^2}{4}$ (1).

Από Ν. Συνημιτόνων στο $\varrtriagle ABC$ , $a^2=b^2+c^2-bc \sqrt{2}$ .

Όμως, b+c=4

, οπότε $a^2=(b+c)^2-(2+\sqrt{2})bc=16-(2+\sqrt{2})bc$ .

Όμως, $bc \leqslant \dfrac{(b+c)^2}{4}=4$ , οπότε $a^2=16-(2+\sqrt{2})bc \geqslant 8 -4\sqrt{2}$ .

Άρα, $a^2 \geqslant 8 -4\sqrt{2}$ (2).

Από (1), (2), $(BOC)=\dfrac{a^2}{4} \geqslant \dfrac{8-4\sqrt{2}}{4}=2-\sqrt{2}$ , οπότε $\displaystyle \boxed{\min (BOC)=2-\sqrt{2}}$ .

Ορθογώνιο και ισοσκελές

Ορθογώνιο και ισοσκελές

Re: Ορθογώνιο και ισοσκελές

Re: Ορθογώνιο και ισοσκελές

Re: Ορθογώνιο και ισοσκελές

Re: Ορθογώνιο και ισοσκελές

Μέλη σε σύνδεση