Ωραία Διοφαντική

JimNt. · #1

Να προσδιορίσετε όλες τις τριάδες φυσικών (x,y,z)

που ικανοποιούν την 5^x+y^2=3^z

. Ας αφεθεί για τους μικρότερους (σε εμπειρία) μαθητές.

min## · #2

Με

βρίσκουμε ότι το

πρέπει να είναι περιττό.(για $x\geq 1$ .Η δοθείσα γίνεται $5^{x}=(3^{k}-y)(3^{k}+y),2k=z$ .Άρα $3^{k}-y=5^{a},3^{k}+y=5^{b}$ .Από αυτό έπεται ότι $y=3^{k}-1$ οπότε παίρνουμε $2*3^{k}-1=5^{a}$ ή $5^{a}+1=2*3^{k}$ .Για $x\geq 2$ από Zsigmondy

είναι άτοπο (το $5^{a}+1$ θα έχει διαφορετικούς πρώτους διαιρέτες των 2,3

.Άρα παίρνουμε τις λύσεις (x,y,z)=(1,2,2)

.Άν

(δεν είναι βέβαια φυσικός) παίρνουμε $y^{2}=3^{z}-1$ όπου με mod 3

η μόνη λύση είναι η (x,y,z)=(0,0,0)

...

thrassos · #3

Καλησπέρα,
Θεωρώ λιγάκι υπερβολή την χρήση του Zsigmondy

όταν μπορείς απλά να παρατηρήσεις ότι (3^k+y,3^k-y)=1

και άρα

και

.

JimNt. · #4

thrassos έγραψε:Καλησπέρα,
Θεωρώ λιγάκι υπερβολή την χρήση του όταν μπορείς απλά να παρατηρήσεις ότι και άρα
και .

Αν παρατηρήσεις ο min## χρησιμοποίησε το Zsigmondy's

στο επόμενο μέρος της λύσης του.

Ορέστης Λιγνός · #5

min## έγραψε:Με βρίσκουμε ότι το πρέπει να είναι περιττό.(για $x\geq 1$ .Η δοθείσα γίνεται $5^{x}=(3^{k}-y)(3^{k}+y),2k=z$ .Άρα $3^{k}-y=5^{a},3^{k}+y=5^{b}$ .Από αυτό έπεται ότι $y=3^{k}-1$ οπότε παίρνουμε $2*3^{k}-1=5^{a}$ ή $5^{a}+1=2*3^{k}$ .Για $x\geq 2$ από είναι άτοπο (το $5^{a}+1$ θα έχει διαφορετικούς πρώτους διαιρέτες των .Άρα παίρνουμε τις λύσεις .Άν (δεν είναι βέβαια φυσικός) παίρνουμε $y^{2}=3^{z}-1$ όπου με η μόνη λύση είναι η ...

Η άσκηση είναι από την BMO 2009.

Συνεχίζω την λύση του min## (όνομα ; ) από το $5^a+1=2 \cdot 3^k$ .

Για k=0, k=1

είναι τετριμμένες περιπτώσεις.

Αν $k \geqslant 2$ , με $(\bmod9)$ , $a \equiv 3 (\bmod6)$ , έστω a=6t+3

.

Τότε, $2 \cdot 3^k=5^{6t+3}+1=5^3 \cdot (5^6)^k+1 \equiv (-1) \cdot 1^k+1 \equiv 0(\bmod7) \Rightarrow 7 \mid 2 \cdot 3^k$ , προφανώς άτοπο.

Ωραία Διοφαντική

Ωραία Διοφαντική

Re: Ωραία Διοφαντική

Re: Ωραία Διοφαντική

Re: Ωραία Διοφαντική

Re: Ωραία Διοφαντική

Μέλη σε σύνδεση