Ολυμπιάδα Λένινγκτραντ 1991

qwerty · #1

Έστω f συνεχής και αύξουσα με f(0)=0

και

. Να αποδείξετε οτι:

$f\left ( \frac{1}{10} \right )+f\left ( \frac{2}{10} \right )+...+f\left ( \frac{9}{10} \right )+f^{-1}\left ( \frac{1}{10} \right ) + f^{-1}\left ( \frac{2}{10} \right )+...+f^{-1}\left ( \frac{9}{10} \right )\leq \frac{99}{10}$

qwerty · #2

Τόσο δύσκολη ήταν τελικά;
Αν έχει κάποιος έστω και κάποια παραπομπή στο ιντερνετ οπου να υπάρχει η λύση, ας τη στείλει

Τροβαδούρος · #3

https://artofproblemsolving.com/communi ... 95p3153992

Από τις λύσεις που είδα δε φαίνεται να είναι για αυτό το φάκελο.

manousos · #4

Edit: Λάθος Λύση

nikkru έγραψε:Υπάρχουν άπειρες συναρτήσεις με αυτές τις προϋποθέσεις, π.χ. η $f(x)=x^{2017}$

Έστω $\displaystyle{x_{0} \in (0,1)}$ με $\displaystyle{f(x_{0}) \neq x_{0}}$ και προφανώς $\displaystyle{f(x_{0}) \in (0,1)}$ αφού η $\displaystyle{f}$ γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{[0,1]}$ .

Ακόμη $\displaystyle{f([0,x_{0}]) = [0,f(x_{0})]}$ (1) και $\displaystyle{f([x_{0},1]) = [f(x_{0}),1]}$ (2) αφού $\displaystyle{f}$ συνεχής και γνησίως αύξουσα σε όλο το $\displaystyle{[0,1]}$ .

$\displaystyle{\bullet}$ Αν $\displaystyle{f(x_{0})>x_{0}}$ $\displaystyle{\Rightarrow}$ $\displaystyle{\left |[0,x_{0}] \right | < \left |[0,f(x_{0})] \right |}$ ΑΤΟΠΟ από (1)

$\displaystyle{\bullet}$ Αν $\displaystyle{f(x_{0})<x_{0}}$ $\displaystyle{\Rightarrow}$ $\displaystyle{\left |[x_{0},1] \right |<\left |[f(x_{0}),1] \right |}$ ΑΤΟΠΟ από (2)

Άρα $\displaystyle{f(x)=x\; ,x\in[0,1]}$

Υ.Γ Μπορεί να είναι και πατάτα δεν ξέρω

Ολυμπιάδα Λένινγκτραντ 1991

Ολυμπιάδα Λένινγκτραντ 1991

Re: Ολυμπιάδα Λένινγκτραντ 1991

Re: Ολυμπιάδα Λένινγκτραντ 1991

Re: Ολυμπιάδα Λένινγκτραντ 1991

Μέλη σε σύνδεση