Κλασική Πυθαγόρεια τριάδα

Ιστοσελίδα · #1

: 3-4-5.png (7.75 KiB) Προβλήθηκε 1577 φορές

Με τα δεδομένα του σχήματος, να δείξετε ότι το τρίγωνο ABC

είναι της μορφής 3 - 4 - 5

.

Αναζητούμε πολλές λύσεις, εντός και εκτός φακέλου!

hlkampel · #2

Μιχάλης Νάννος έγραψε:3-4-5.pngΜε τα δεδομένα του σχήματος, να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι της μορφής .

Αναζητούμε πολλές λύσεις, εντός και εκτός φακέλου!

Edit: Σβήνω την λάθος λύση γιατί χρησιμοποίησα ένα λάθος δεδομένο.

Ευχαριστώ τον Γιώργο Βισβίκη για την ευγενική ειδοποίηση

#3

Μιχάλης Νάννος έγραψε:3-4-5.pngΜε τα δεδομένα του σχήματος, να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι της μορφής .

Αναζητούμε πολλές λύσεις, εντός και εκτός φακέλου!

Καλημέρα σε όλους!

: Κλασική Πυθαγόρεια Τριάδα.png (8.35 KiB) Προβλήθηκε 1541 φορές

$\displaystyle{C{D^2} = 4 = CE \cdot CB},$ άρα η

εφάπτεται στο ημικύκλιο διαμέτρου

κι επειδή

και η

θα εφάπτεται

του ημικυκλίου, οπότε $\widehat B=90^0.$ Με Π. Θ, τώρα, $\displaystyle{{x^2} + 16 = {(x + 2)^2} \Leftrightarrow }$ $\boxed{x=AB=3}$ και $\boxed{AC=5}$

#4

Άλλη μία...

Φέρνω $\displaystyle{DH \bot BC}$ και έστω AB=AD=x, HE=y

: Κλασική Πυθαγόρεια Τριάδα.b.png (7.46 KiB) Προβλήθηκε 1519 φορές

$\displaystyle{D{H^2} = D{C^2} - C{H^2} \Leftrightarrow y(3 - y) = 4 - {(y + 1)^2} \Leftrightarrow }$ $\boxed{y=\frac{3}{5}}$ και $\boxed{DH=\frac{6}{5}},$ $\boxed{BD^2=\frac{180}{25}}$

Stewart

στο

$\displaystyle{2{x^2} + 16x = \frac{{180}}{{25}}(x + 2) + 2x(x + 2) \Leftrightarrow }$ $\boxed{AB=x=3}$ και $\boxed{AC=5}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

Μιχάλης Νάννος έγραψε:3-4-5.pngΜε τα δεδομένα του σχήματος, να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι της μορφής .

Αναζητούμε πολλές λύσεις, εντός και εκτός φακέλου!

Με $\displaystyle{DA = AZ = AB = x \Rightarrow ZB \bot BD \Rightarrow ZB//DE \Rightarrow \frac{1}{3} = \frac{2}{{2x}} \Rightarrow \boxed{x = 3} \Rightarrow\boxed{AC = 3 + 2 = 5}}$

#6

Κατασκευή:

: Πυθαγόρια τριάδα.png (21.94 KiB) Προβλήθηκε 1514 φορές

Έστω ευθύγραμμο τμήμα BC = 4

και σημείο του

έτσι ώστε

.

Ο κύκλος (C,2)

τέμνει το ημικύκλιο , κέντρου

και διαμέτρου

στο

.

Η ευθεία

τέμνει τη μεσοκάθετο του

στο

.

Προφανώς το $\vartriangle ABC$ υπακούει στις προδιαγραφές της υπόθεσης .

Επειδή AK//ED

έχω : $\boxed{\frac{x}{2} = \frac{{1,5}}{1} \Leftrightarrow x = 3}$ .

nikkru · #7

Μιχάλης Νάννος έγραψε:3-4-5.pngΜε τα δεδομένα του σχήματος, να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι της μορφής .

Αναζητούμε πολλές λύσεις, εντός και εκτός φακέλου!

: Κλασική Πυθαγόρεια τριάδα.png (8.75 KiB) Προβλήθηκε 1475 φορές

Φέρνοντας την διάμεσο

του ορθογωνίου τριγώνου BDE

είναι $DM=\frac{BE}{2}=2,5$ άρα το MDC

είναι ορθογώνιο με πλευρές $\frac{3}{2},\frac{4}{2},\frac{5}{2}$ .

Τα τρίγωνα ABM,ADM

έχουν τις πλευρές τους ίσες, άρα $A\widehat{B}M=A\widehat{D}M=90^{o}$ .

Τέλος, τα ορθογώνια τρίγωνα ABC, MDC

έχουν κοινή την $\widehat{C}$ οπότε είναι όμοια με $\lambda =2$ , οπότε $\boxed{ AB=3,BC=4,AC=5}$ .

KARKAR · #8

Μία για να ζηλέψει ο Βισβίκης

: 3-4-5.png (7.61 KiB) Προβλήθηκε 1460 φορές

Από θ. Stewart : 2x^2+16x=(x+2)(y^2+2x)

. Όμως με δύο νόμους συνημιτόνων :

y^2=20-16cosC

και :

. Άρα

, απ'όπου :

$y^2=\dfrac{36}{5}$ και με αντικατάσταση στην αρχική , παίρνουμε x=3

, τέλος ...

#9

KARKAR έγραψε:Μία για να ζηλέψει ο Βισβίκης 3-4-5.png
Από θ. Stewart : . Όμως με δύο νόμους συνημιτόνων :

και : . Άρα , απ'όπου :

$y^2=\dfrac{36}{5}$ και με αντικατάσταση στην αρχική , παίρνουμε , τέλος ...

Γιατί όχι έτσι;

: Κλασσική Πυθαγόρεια τριάδα.png (11.21 KiB) Προβλήθηκε 1449 φορές

Εφαρμόζω Θ συνημίτονου στα τρίγωνα $DBC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DEC$ .

$\left\{ \begin{gathered} D{B^2} = 16 + 4 - 16\cos \theta \hfill \\ D{E^2} = 5 - 4\cos \theta \hfill \\ \end{gathered} \right.$ και προσθέτω οπότε : $9 = 20 - 16\cos \theta + 5 - 4\cos \theta \Rightarrow \boxed{\cos \theta = \dfrac{4}{5}}$ . Τώρα πάλι το ίδιο θεώρημα στο $\vartriangle ABC$ .

${x^2} = {(x + 2)^2} + 16 - 2 \cdot 4(x + 2) \cdot \dfrac{4}{5} \Rightarrow \boxed{x = 3}$

Κλασική Πυθαγόρεια τριάδα

Κλασική Πυθαγόρεια τριάδα

Re: Κλασική Πυθαγόρεια τριάδα

Re: Κλασική Πυθαγόρεια τριάδα

Re: Κλασική Πυθαγόρεια τριάδα

Re: Κλασική Πυθαγόρεια τριάδα

Re: Κλασική Πυθαγόρεια τριάδα

Re: Κλασική Πυθαγόρεια τριάδα

Re: Κλασική Πυθαγόρεια τριάδα

Re: Κλασική Πυθαγόρεια τριάδα

Μέλη σε σύνδεση