Μεσογειακά σύνολα

[socrates]

Ένα σύνολο λέγεται βαλεαρικό, αν υπάρχουν όχι απαραίτητα διαφορετικά, τέτοια ώστε ο αριθμός να είναι δύναμη του
Για ποιες τιμές του υπάρχει υποσύνολο στοιχείων του το οποίο δεν είναι βαλεαρικό, αλλά κάθε υποσύνολο στοιχείων του είναι βαλεαρικό;

[Demetres]

Θα δείξω ότι αυτό ισχύει μόνο για . Αυτό είναι άμεση συνέπεια των Λημμάτων 1-4

Λήμμα 1: Αν τότε το έχει ένα υποσύνολο στοιχείων που δεν είναι βαλεαρικό.

Απόδειξη: Μπορούμε να πάρουμε το όπου:



και .

Οι αριθμοί κάθε ανήκουν στο διάστημα και άρα το άθροισμα κάθε δύο αριθμών του ανήκει στο διάστημα οπότε δεν είναι δύναμη του . Με παρόμοιο τρόπο βλέπουμε ότι το άθροισμα ενός αριθμού από το και οποιουδήποτε άλλου αριθμού είναι μεγαλύτερο του και μικρότερο του άρα δεν είναι δύναμη του . Τέλος κάθε επιλέχθηκε ώστε τα στοιχεία του να είναι μεγαλύτερα του , μικρότερα του αλλά το άθροισμά τους με οποιοδήποτε άλλο στοιχείο των να μην ισούται με και άρα να μην είναι δύναμη του .

Συνολικά έχουμε στοιχεία με το σύνολο να μην είναι βαλεαρικό.

Λήμμα 2: Το έχει ένα υποσύνολο στοιχείων που δεν είναι βαλεαρικό.

Απόδειξη: Απλά αφαιρούμε το από το υποσύνολο της απόδειξης του λήμματος 1.


Λήμμα 3: Κάθε υποσύνολο στοιχείων του είναι βαλεαρικό.

Απόδειξη: Διαμερίζουμε το σύνολο στα εξής υποσύνολα:




.

Συνολικά καταγράψαμε μονοσύνολα και δισύνολα. Κάθε μη βαλεαρικό σύνολο περιέχει μόνο ένα στοιχείο από κάθε δισύνολο αφού το άθροισμα των δύο στοιχείων είναι δύναμη του . Επίσης δεν μπορεί να περιέχει κανένα στοιχείο μονοσυνόλου επειδή το άθροισμα με τον εαυτό του είναι δύναμη του .

Λήμμα 4: Κάθε υποσύνολο στοιχείων του είναι βαλεαρικό.

Απόδειξη: Διαμερίζουμε το σύνολο στα εξής υποσύνολα:




.

Συνολικά καταγράψαμε μονοσύνολα και δισύνολα. Κάθε μη βαλεαρικό σύνολο περιέχει μόνο ένα στοιχείο από κάθε δισύνολο αφού το άθροισμα των δύο στοιχείων είναι δύναμη του . Επίσης δεν μπορεί να περιέχει κανένα στοιχείο μονοσυνόλου επειδή το άθροισμα με τον εαυτό του είναι δύναμη του .