Ακρότατα - Υπαρξιακό

M.S.Vovos · #1

Έστω $\alpha ,\beta ,\gamma \in \mathbb{R}$ και η συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ με $f(x)=\alpha x^{3}+\beta x^{2}+\gamma x+1$ . Αν γνωρίζετε ότι:

$\bullet$ Η

παρουσιάζει τοπικά ακρότατα στα σημεία $x_{1}=0$ και $\displaystyle x_{2}=\frac{2}{3}$ .

$\bullet$ $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{f(x)}{x^{3}}=2\beta -3$ , τότε:

(α) Να αποδείξετε ότι $\alpha =-1$ , $\beta =1$ , $\gamma =0$ και να καθορίσετε το είδος των ακροτάτων.

(β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό $\xi \in \left ( 1,2 \right )$ τέτοιο ώστε η

να διέρχεται από το σημείο $M\left ( \xi ,0 \right )$ .

(γ) Αληθεύει ότι υπάρχουν $\xi _{1},\xi _{2}\in \left ( 1,2 \right )$ τέτοια ώστε να ισχύει $\displaystyle f'\left ( \xi _{1} \right )f'\left ( \xi _{2} \right )=\frac{3}{\varphi \left ( \xi \right )}$ , όπου $\varphi (x)=-x^{2}+3x-2$ , $x\in \mathbb{R}$ και $\xi$ του προηγούμενου ερωτήματος?

(δ) Να εξετάσετε αν υπάρχουν σημεία της

, στα οποία οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης της να είναι μεταξύ τους παράλληλες.

#2

M.S.Vovos έγραψε:
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Καλησπέρα στο με μία κατασκευή, που προορίζεται για θέμα 2.
Έστω $\alpha ,\beta ,\gamma \in \mathbb{R}$ και η συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ με $f(x)=\alpha x^{3}+\beta x^{2}+\gamma x+1$ . Αν γνωρίζετε ότι:

$\bullet$ Η παρουσιάζει τοπικά ακρότατα στα σημεία $x_{1}=0$ και $\displaystyle x_{2}=\frac{2}{3}$ .

$\bullet$ $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{f(x)}{x^{3}}=2\beta -3$ , τότε:

(α) Να αποδείξετε ότι $\alpha =-1$ , $\beta =1$ , $\gamma =0$ και να καθορίσετε το είδος των ακροτάτων.

(β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό $\xi \in \left ( 1,2 \right )$ τέτοιο ώστε η να διέρχεται από το σημείο $M\left ( \xi ,0 \right )$ .

(γ) Αληθεύει ότι υπάρχουν $\xi _{1},\xi _{2}\in \left ( 1,2 \right )$ τέτοια ώστε να ισχύει $\displaystyle f'\left ( \xi _{1} \right )f'\left ( \xi _{2} \right )=\frac{3}{\varphi \left ( \xi \right )}$ , όπου $\varphi (x)=-x^{2}+3x-2$ , $x\in \mathbb{R}$ και $\xi$ του προηγούμενου ερωτήματος?

(δ) Να εξετάσετε αν υπάρχουν σημεία της , στα οποία οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης της να είναι μεταξύ τους παράλληλες.

ΛΥΣΗ

α) Αφού η παραγωγίσιμη $f(x)=\alpha x^{3}+\beta x^{2}+\gamma x+1$ με ${f}'(x)=3\alpha {{x}^{2}}+2\beta x+2\gamma$

παρουσιάζει τοπικά ακρότατα στα σημεία $x_{1}=0$ και $\displaystyle x_{2}=\frac{2}{3}$ σύμφωνα με το θεώρημα του Fermat θα ισχύει

${f}'(0)=0,\,\,{f}'(\frac{2}{3})=0$ άρα $2\gamma =0\Leftrightarrow \gamma =0$ και

$3\alpha \frac{4}{9}+2\beta \frac{2}{3}=0\Leftrightarrow \alpha +\beta =0$ (1)

Ακόμη επειδή $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{f(x)}{x^{3}}=2\beta -3$ αν $\alpha =0$ τότε

$\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\beta {{x}^{2}}+\gamma x+1}{{{x}^{3}}}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\beta {{x}^{2}}}{{{x}^{3}}}=0$

οπότε αναγκαία $\alpha \ne 0$ και $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{a{{x}^{3}}+\beta {{x}^{2}}+\gamma x+1}{{{x}^{3}}}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{a{{x}^{3}}}{{{x}^{3}}}=a$

επομένως είναι $2\beta -3=a$ (2) και λύνοντας το σύστημα των (1),(2) προκύπτει ότι $\alpha =-1$ , $\beta =1$ και τότε

$f(x)=-{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+1$ και ${f}'(x)=-3{{x}^{2}}+2x$ με ${f}'(x)=0\Leftrightarrow x=0,\,\,x=\frac{2}{3}$ και

${f}'(x)>0\Leftrightarrow x<0,\,\,x>\frac{2}{3}$ άρα η

είναι γνήσια αύξουσα στα διαστήματα $(-\infty ,\,\,0],\,\,[\frac{2}{3},\,\,+\infty )$

και ${f}'(x)<0\Leftrightarrow 0<x<\frac{2}{3}$ άρα η

είναι γνήσια φθίνουσα στο διάστημα $[0,\,\,\frac{2}{3}]$

επομένως παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο $x_{1}=0$ το f(0)=1

και τοπικό ελάχιστο στο $\displaystyle x_{2}=\frac{2}{3}$ το $f(\frac{2}{3})=\frac{31}{27}$

β) Είναι $f(1)=1>0,\,\,f(2)=-3<0$ και επειδή f(1)f(2)<0

και συνεχής στο $[1,\,\,2]$

σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano υπάρχει

$\xi \in (1,\,\,2)$ με $f(\xi )=0$ μοναδικό αφού η

είναι γνήσια φθίνουσα στο $[\frac{2}{3},\,\,+\infty )$ .

γ) Από θεώρημα μέσης τιμής στα $[1,\,\,\xi ],\,[\xi ,\,\,2]$ υπάρχουν ${{\xi }_{1}}\in (1,\,\xi ),\,\,{{\xi }_{2}}\in \left( \xi ,2 \right)$ που

${f}'({{\xi }_{1}}){f}'({{\xi }_{2}})=\frac{f(\xi )-f(1)}{\xi -1}\frac{f(2)-f(\xi )}{2-\xi }=\frac{-f(1)f(2)}{(\xi -1)(2-\xi )}=\frac{3}{-{{\xi }^{2}}+3\xi -2}=\frac{3}{\phi (\xi )}$

άρα αληθεύει ότι υπάρχουν $\xi _{1},\xi _{2}\in \left ( 1,2 \right )$ τέτοια ώστε να ισχύει

$\displaystyle f'\left ( \xi _{1} \right )f'\left ( \xi _{2} \right )=\frac{3}{\varphi \left ( \xi \right )}$

(…σαν ερώτημα δεν κατάλαβα τι εξυπηρετεί ο τρόπος έκφρασης του ζητουμένου….)

δ) Είναι {f}''(x)=-6x+2

και ${f}''(x)=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{3}$ και ${f}''(x)<0\Leftrightarrow x<\frac{1}{3},\,\,{f}''(x)>0\Leftrightarrow x>\frac{1}{3}$ επομένως η

{f}'

είναι γνήσια αύξουσα στο ${{\Delta }_{1}}=(-\infty ,\,\,\frac{1}{3}]$ και γνήσια φθίνουσα στο ${{\Delta }_{2}}=[\frac{1}{3},\,\,+\infty )$

οπότε ${f}'({{\Delta }_{1}})=(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{f}'(x),\,\,{f}'(\frac{1}{3})]=(-\infty ,\,\frac{1}{3}]$ και

${f}'({{\Delta }_{2}})=[{f}'(\frac{1}{3}),\,\,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{f}'(x)]=[\frac{1}{3},\,\,+\infty )$ και αφού

${f}'({{\Delta }_{1}})\cap {f}'({{\Delta }_{2}})=(-\infty ,\,\frac{1}{3}]$ υπάρχουν σημεία με ${{x}_{1}}\in {{\Delta }_{1}}$ και με

${{x}_{2}}\in {{\Delta }_{2}}$ ώστε ${f}'({{x}_{1}})={f}'({{x}_{2}})$

άρα οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης σε αυτά να είναι μεταξύ τους παράλληλες.

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Ακρότατα - Υπαρξιακό

Ακρότατα - Υπαρξιακό

Re: Ακρότατα - Υπαρξιακό

Μέλη σε σύνδεση