Συναρτησιακή με 2 συναρτήσεις

Γιάννης Μπόρμπας · #1

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f,g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ που ικανοποιούν την παρακάτω σχέση:
$f(y+2f(x))=xg(y)+f(yf(x))+y ,\forall x,y\in\mathbb{R}$

simantiris j. · #2

Καλημέρα!Μια προσπάθεια:
Αν η

δεν είναι η μηδενική επιλέγοτας

τέτοιο ώστε $g(y)\neq 0$ εύκολα προκύπτει ότι η

είναι 1-1.
Η P(0,0)

δίνει ότι $f(2f(0))=f(0)\Rightarrow f(0)=0$ .Για x=0

τώρα προκύπτει ότι f(x)=x

και άρα

δεκτό ζεύγος.
Αν $g(x)\equiv 0$ τότε έχω να λύσω την f(y+2f(x))=f(yf(x))+y

.Σε αυτή για

το

έχω ότι

και εναλλάσοντας τα x,y

έχω ότι $f(x)=f(y) \forall x,y\in \mathbb{R}$ άρα η

σταθερή,άτοπο.
Τελικά η μόνη λύση είναι η $f(x)=x,g(x)=2-x\forall x\in \mathbb{R}$

Γιάννης Μπόρμπας · #3

simantiris j. έγραψε:Καλημέρα!Μια προσπάθεια:
Αν η δεν είναι η μηδενική επιλέγοτας τέτοιο ώστε $g(y)\neq 0$ εύκολα προκύπτει ότι η είναι 1-1.
Η δίνει ότι $f(2f(0))=f(0)\Rightarrow f(0)=0$ .Για τώρα προκύπτει ότι και άρα δεκτό ζεύγος.
Αν $g(x)\equiv 0$ τότε έχω να λύσω την .Σε αυτή για το
έχω ότι και εναλλάσοντας τα έχω ότι $f(x)=f(y) \forall x,y\in \mathbb{R}$ άρα η σταθερή,άτοπο.
Τελικά η μόνη λύση είναι η $f(x)=x,g(x)=2-x\forall x\in \mathbb{R}$

Συναρτησιακή με 2 συναρτήσεις

Συναρτησιακή με 2 συναρτήσεις

Re: Συναρτησιακή με 2 συναρτήσεις

Re: Συναρτησιακή με 2 συναρτήσεις

Μέλη σε σύνδεση