Ποιο είναι μεγαλύτερο;

Panagiotis11 · #1

Ποιο είναι μεγαλύτερο;

$\sqrt{2016}+\sqrt{2018}$ ή $2\sqrt{2017}$

Να το αποδείξετε

#2

Θέτω

και έστω π.χ.

$a \geqslant b \Leftrightarrow \sqrt {x - 1} + \sqrt {x + 1} \geqslant 2\sqrt x \Rightarrow x - 1 + x + 1 + 2\sqrt {{x^2} - 1} \geqslant 4x$ και άρα

$\sqrt {{x^2} - 1} \geqslant x \Rightarrow - 1 \geqslant 0$ Άτοπο άρα a < b

.

Christos.N · #3

Πιο γενικά

$\displaystyle{\begin{array}{l} \sqrt {a + 1} + \sqrt {a - 1} < 2\sqrt a \Leftrightarrow \sqrt {a + 1} - \sqrt a < \sqrt a - \sqrt {a - 1} \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt {a + 1} + \sqrt a }} < \frac{1}{{\sqrt a + \sqrt {a - 1} }}\\ \Leftrightarrow \sqrt a + \sqrt {a - 1} < \sqrt {a + 1} + \sqrt a \Leftrightarrow \sqrt {a - 1} < \sqrt {a + 1} \end{array}}$

με τα παραπάνω να ισχύουν για $\displaystyle{a \ge 1}$

Με εφαρμογή για $\displaystyle{a = 2017 \Rightarrow \sqrt {2018} + \sqrt {2016} < 2\sqrt {2017} }$ .

ανεξάρτητα με το προηγούμενο.

#4

Γενικότερα, επειδή η $\sqrt x$ είναι κοίλη έπεται (είναι η απλή μορφή της ανισότητας Jensen) ισχύει

$\frac {\sqrt a + \sqrt b}{2} < \sqrt {\frac { a +b}{2}$ για $a\ne b \ge 0$ .

To παραπάνω είναι γνωστό και απλό: Μπορούμε να το δείξουμε και χωρίς Jensen καθώς ανάγεται στο $2\sqrt {ab} < a+b$ , αλλά η Jensen αναδεικνύει την αιτία.

Eδώ $a=2018, \, b= 2016.$

Ratio · #5

Και μία λύση Γυμνασιακή

Έστω

$\sqrt{2016}+\sqrt{2018}>2\sqrt{2017\Leftrightarrow }\sqrt{2016}+\sqrt{2016+2}>2\sqrt{2016+1}\\\Leftrightarrow (\sqrt{2016}+\sqrt{2016+2})^{2}>(2\sqrt{2016+1})^{2}\\\Leftrightarrow 2016+2016+2+2\sqrt{2016(2016+2)}> 4(2016+1)\\\Leftrightarrow \sqrt{2016(2016+2)}>(2016+1)\Leftrightarrow 2016^{2}+2*2016>2016^{2}+2*2016+1\\\Leftrightarrow 0>1$

άτοπο , άρα $\sqrt{2016}+\sqrt{2018}<2\sqrt{2017$

#6

Ratio έγραψε:Και μία λύση Γυμνασιακή

Σωστά αλλά μάλλον δεν θα αντιλήφθηκες ότι οι παραπάνω λύσεις είναι και αυτές Γυμνασιακές και μάλλον απλούστερες. Ας προσθέσω ότι θα γλύτωνες λίγο κόπο στην λύση σου αν απέφευγες να εργαστείς με άτοπο αλλά να άρχιζες με την ανάποδη ανισότητα. Έτσι θα πήγαινες απευθείας στο ζητούμενο με κάπως λιγότερα και απλούστερα βήματα.

Άσκηση προς τα παιδιά: Δείξε αυτό που έγραψα παραπάνω, δηλαδή το
$\displaystyle{\frac {\sqrt a + \sqrt b}{2} < \sqrt {\frac { a +b}{2}$ για $\displaystyle{a\ne b \ge 0}$

χρησιμοποιώντας μόνο γνώσεις Γυμνασίου. Ισοδύναμα δείξτε $\displaystyle{\sqrt a + \sqrt b < \sqrt 2 \sqrt { a +b}}$ . Μπορείτε να το κάνετε είτε με γενικά θετικά a,b

ή ειδικά για τα $2016, \, 2018$ , πάντα Γυμνασιακά.

Ratio · #7

Γράφοντας Γυμνασιακή, υπέθεσα ότι ίσως οι μαθητές να είχαν δυσκολία να διαχειριστούν μία λύση χρησιμοποιώντας a,b ή x, και να προχωρούσαν σε λύση με τους αριθμούς όπως τους δόθηκαν

Ποιο είναι μεγαλύτερο;

Ποιο είναι μεγαλύτερο;

Re: Ποιο είναι μεγαλύτερο;

Re: Ποιο είναι μεγαλύτερο;

Re: Ποιο είναι μεγαλύτερο;

Re: Ποιο είναι μεγαλύτερο;

Re: Ποιο είναι μεγαλύτερο;

Re: Ποιο είναι μεγαλύτερο;

Μέλη σε σύνδεση