Τριγωνομετρικό όριο

#1

Για $\alpha>1$ , να βρεθεί το $\mathop{\lim}\limits_{x\to +\infty}\big(\sin \tfrac{\pi}{\alpha^x}\big)^{\frac{1}{x}}\,.$

#2

grigkost έγραψε:Για $\alpha>1$ , να βρεθεί το $\mathop{\lim}\limits_{x\to +\infty}\big(\sin \tfrac{\pi}{\alpha^x}\big)^{\frac{1}{x}}\,.$

Αφού $\displaystyle{ \frac{\pi}{\alpha^x} \to 0}$ καθώς

τείνει στο άπειρο, έχουμε $\displaystyle{ \dfrac {\sin \frac{\pi}{\alpha^x}}{ \frac{\pi}{\alpha^x}} \to 1}$ . Άρα για μεγάλα

είναι

$\displaystyle{ \dfrac {1}{2} \le \dfrac {\sin \frac{\pi}{\alpha^x}}{ \frac{\pi}{\alpha^x}} \le 1}$ και άρα

$\displaystyle{ \left (\dfrac {1}{2} \right ) ^{\frac{1}{x}} \le \left( \dfrac {\sin \frac{\pi}{\alpha^x}}{ \frac{\pi}{\alpha^x}} \right )^{\frac{1}{x}} \le 1}$

Από ισοσυγκλίνουσες και με χρήση του $\displaystyle{ \left ( \dfrac {1}{2} \right ) ^{\frac{1}{x}} \to 1}$ , η παράσταση μέσα στην τελευταία παρένθεση λεχει όριο 1.

Τώρα, το ζητούμενο όριο ισούται με την εν λόγω παράταση επί $\frac {\pi ^{1/x}}{a}$ που τείνει στο 1/a

. Άρα το τελευταίο είναι η απάντηση στο ζητούμενο όριο.

Edit: Πρόσθεσα την τελευταία παράγραφο που είχα ξεχάσει να την πληκτρολογήσω.

mikemoke · #3

grigkost έγραψε:Για $\alpha>1$ , να βρεθεί το $\mathop{\lim}\limits_{x\to +\infty}\big(\sin \tfrac{\pi}{\alpha^x}\big)^{\frac{1}{x}}\,.$

Διαιρούμε και πολλαπλασιάζουμε με $(\tfrac{\pi}{\alpha^x}\big)^{\frac{1}{x}}$
και τελικά καταλήγουμε στον υπολογισμό του $\lim_{x\to +\infty} \frac{1}{(a^x)^\frac{1}{x}}$

#4

mikemoke έγραψε:
grigkost έγραψε:Για $\alpha>1$ , να βρεθεί το $\mathop{\lim}\limits_{x\to +\infty}\big(\sin \tfrac{\pi}{\alpha^x}\big)^{\frac{1}{x}}\,.$
Διαιρούμε και πολλαπλασιάζουμε με $(\tfrac{\pi}{\alpha^x}\big)^{\frac{1}{x}}$
και τελικά καταλήγουμε στον υπολογισμό του $\lim_{x\to +\infty} \frac{1}{(a^x)^\frac{1}{x}}$

δηλαδή στο $\frac{1}{{\alpha}}$ . Όμως ο χειρισμός του $\mathop{\lim}\limits_{x\to +\infty}\Big(\frac{\sin \tfrac{\pi}{{\alpha}^x}}{\tfrac{\pi}{{\alpha}^x}}\Big)^{\frac{1}{x}}$ δεν είναι προφανής. Η δική μου επίλυση είναι:

$\begin{aligned} \mathop{\lim}\limits_{x\to +\infty}\big(\sin \tfrac{\pi}{{\alpha}^x}\big)^{\frac{1}{x}}&=\mathop{\lim}\limits_{x\to +\infty}\exp\Big(\log\Big(\big(\sin \tfrac{\pi}{{\alpha}^x}\big)^{\frac{1}{x}}\Big)\Big)\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=\mathop{\lim}\limits_{x\to +\infty}\exp\Big(\frac{1}{x}\log\big(\sin \tfrac{\pi}{{\alpha}^x}\big)\Big)\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=\exp\bigg(\mathop{\lim}\limits_{x\to +\infty}\frac{\log\big(\sin \tfrac{\pi}{{\alpha}^x}\big)}{x}\bigg)\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &\stackrel{\frac{\infty}{\infty}}{=}\exp\bigg(\mathop{\lim}\limits_{x\to +\infty}\frac{\big(\log\big(\sin \tfrac{\pi}{{\alpha}^x}\big)\big)'}{(x)'}\bigg)\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=\exp\bigg(\mathop{\lim}\limits_{x\to +\infty}\frac{\tfrac{\pi}{{\alpha}^x}\cos \tfrac{\pi}{{\alpha}^x}\log\frac{1}{{\alpha}}}{\sin \tfrac{\pi}{{\alpha}^x}}\bigg)\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=\exp\Bigg(-\log{\alpha}\,\frac{\mathop{\lim}\limits_{x\to +\infty}\cos \tfrac{\pi}{{\alpha}^x}}{\mathop{\lim}\limits_{x\to +\infty}\frac{\sin \tfrac{\pi}{{\alpha}^x}}{\tfrac{\pi}{{\alpha}^x}}}\Bigg)\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=\exp\Big(-\log{\alpha}\,\frac{1}{1}\Big)\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=\frac{1}{{\rm{e}}^{\log{\alpha}}}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=\frac{1}{{\alpha}}\,. \end{aligned}$

edit: 15:22 1/7/17 Διόρθωσα το σχόλιό μου για την λύση του mikemoke.

#5

grigkost έγραψε: Όμως ο χειρισμός του $\mathop{\lim}\limits_{x\to +\infty}\Big(\frac{\sin \tfrac{\pi}{{\alpha}^x}}{\tfrac{\pi}{{\alpha}^x}}\Big)^{\frac{1}{x}}$ δεν είναι προφανής.

Σωστό. Εκεί είναι η ουσία της άσκησης.

Στην δική μου λύση παραπάνω συμπλήρωσα την τελευταία παράγραφο που είχα ξεχάσει να πληκτρολογήσω. Με την μέθοδο που γράφω ουσιαστικά μεταθέτουμε τον υπολογισμό του ορίου $\mathop{\lim}\limits_{x\to +\infty}\left (\frac{\sin \tfrac{\pi}{{\alpha}^x}}{\tfrac{\pi}{{\alpha}^x}}\right)^{\frac{1}{x}}$ στο πιο εύκολο $\mathop{\lim}\limits_{x\to +\infty}\left (\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{x}}$ (σταθερό αντί μεταβλητό το "μέσα" στην παρένθεση).

Παπαστεργίου Κώστας · #6

Η παρουσία του $\pi$ όπως και οποιουδήποτε άλλου σταθερού αριθμού στη θέση του νομίζω είναι άνευ σημασίας. Πιο όμορφο και απλό είναι το 1.
ΠΚ

#7

Παπαστεργίου Κώστας έγραψε:Η παρουσία του $\pi$ νομίζω είναι εντελώς άχρηστη όπως και οποιουδήποτε άλλου σταθερού αριθμού στη θέση του. Για περισσότερο κύρος το βάλανε; Πιο όμορφο και απλό είναι το 1.
ΠΚ

1) Μια άσκηση δεν μπορεί, κατά κανέναν τρόπο, να "αποκτήσει κύρος" -ακόμα κι αν π.χ. ο δημιουργός της είναι ένας διάσημος μαθηματικός- και μάλιστα βάζοντας "στολίδια". Μια άσκηση έχει (ή δεν έχει) έναν βαθμό (μαθηματικής) ομορφιάς και βάθους.
2) Στην συγκεκριμένη άσκηση η παρουσία του $\pi$ ήταν τυχαία -δεν πολυσκέφτηκα την "παρουσία" του- αλλά νομίζω ότι είτε με το $\pi$ , είτε με κάποιον άλλον αριθμητή, η ουσία -άρα και η όποια ομορφιά- της άσκησης δεν αλλάζει.

Υ.Γ. Η αλήθεια είναι ότι εξεπλάγην που σταθήκατε σε αυτήν την λεπτομέρεια, όταν μάλιστα από την μέρα δημοσίευσή της έχουν ανέβει προς συζήτηση στο mathematica.gr εξαιρετικής ομορφιάς θέματα!

Φιλικά

Παπαστεργίου Κώστας · #8

Αγαπητέ συνάδελφε δεν είχα σκοπό να σας στενοχωρήσω. Δε σας γνωρίζω και φυσικά δεν ήξερα ότι η άσκηση ήταν, όπως καταλαβαίνω, δική σας κατασκευής. Από το προηγούμενό μου σχόλιο αφήρεσα παρεξηγήσιμες λέξεις όχι όμως την άποψή μου ότι το $\pi$ δεν έπρεπε να υπάρχει και θα σας πω γιατί.
Μόλις είδα την άσκηση είπα μέσα μου. Θα δεις ότι αυτό δεν μπήκε τυχαία εκεί. Έχει κομβικό ρόλο στην άσκηση. Εννοούσα φυσικά το $\pi$ .
Και φυσικά έπεσα σε αδιέξοδο και άλλαξα δρόμο λύνοντας την άσκηση παρόμοια με τη γνωστή $\lim_{x\rightarrow 0}x^{x}=1$ οπότε και διαπίστωσα ότι εξαπατήθηκα σχετικά με το $\pi$ . Έτσι έγραψα το σχόλιό μου με κάποια διάθεση αστεϊσμού.

Επιτρέψτε μου όμως να μην το θεωρώ λεπτομέρεια και αναγνωρίστε μου το δικαίωμα να επιλέγω εγώ τα θέματά μου. Πάντα με ενδιαφέρει η βελτίωση ενός θέματος, η γενίκευσή του κλπ. Μπορείτε να το δείτε στις περισσότερες από τις λίγες αναρτήσεις μου.

Επίσης Φιλικά
ΠΚ

Τριγωνομετρικό όριο

Τριγωνομετρικό όριο

Re: Τριγωνομετρικό όριο

Re: Τριγωνομετρικό όριο

Re: Τριγωνομετρικό όριο

Re: Τριγωνομετρικό όριο

Re: Τριγωνομετρικό όριο

Re: Τριγωνομετρικό όριο

Re: Τριγωνομετρικό όριο

Μέλη σε σύνδεση