Όμορφη άσκηση

Panagiotis11 · #1

Ποιο είναι το άθροισμα όλων των ακεραίων

στο οποίο το σύστημα

$\left\{\begin{matrix}x^2-xy=k^2+k & & \\ y^2-xy=k-99 & & \end{matrix}\right.$

δεν έχει πραγματικές λύσεις (x,y)

;

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

Αφαιρώντας τις δύο σχέσεις κατά μέλη έχουμε ότι:

x^2-y^2=k^2+99

.

Λόγω του ότι το k^2+99

είναι θετικός, έχουμε πως $x-y\ne 0$ (1)

Προσθέτοντας τις δύο σχέσεις κατά μέλη παίρνουμε ότι:

$x^2+y^2-2xy=k^2+2k-99\Leftrightarrow (x-y)^2=(k+1)^2-100$

Από την (1) έχουμε πως (x-y)^2>0

, άρα αν $(k+1)^2\leq 100$ , το αρχικό σύστημα δεν έχει λύση στους πραγματικούς. Αυτό γίνεται όταν $-11\leq k\leq 9$ .

Αν τώρα το

δεν ανήκει στο παραπάνω διάστημα τότε έχουμε πως $x-y=\sqrt{(k+1)^2-100}$ και ότι x^2-y^2=k^2+99

, δηλαδή ότι $x+y=\dfrac{k^2+99}{\sqrt{(k+1)^2-100}}$ , άρα εύκολα προκύπτει ότι το σύστημα μας έχει λύσεις στους πραγματικούς.

Συνοψίζοντας, το σύστημά μας δεν έχει πραγματικές λύσεις για τις τιμές $-11\leq k\leq 9$ , όπου έχουν άθροισμα

.

Όμορφη άσκηση

Όμορφη άσκηση

Re: Όμορφη άσκηση

Μέλη σε σύνδεση