MIPT 2017/2

Al.Koutsouridis · #1

Να βρείτε το όριο

$\displaystyle{\lim_{n \to \infty} 2^{n} \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+{\sqrt{2+{\sqrt{2+ ... +\sqrt{2} }} } } } } } }$

Το πλήθος των ριζικών είναι

, το πρώτο σύμβολο είναι μείον και τα υπόλοιπα συν.

dr.tasos · #2

$\sqrt{2+\sqrt{2+{\sqrt{2+{\sqrt{2+ ... +\sqrt{2} }} } } } }$ αυτό έχει

ριζικά απο την υπόθεση με άλλα λόγια έχω την ακολουθία

$x_{n+1}=\sqrt{2+x_n} , \quad x_1=\sqrt{2}$

Βγάζω $0 < x_n \leq 2$ και κάνω τον μετασχηματισμό $y_n=\frac{x_n}{2}$ και μετά y_n=cos(z_n)

για κάποιους z_n

στο $[0,\frac{\pi}{2}]$

Μετά απο λίγες πράξεις θα βγει ότι $x_n=2cos(\frac{\pi}{2^{n+1}})$

Οπότε το εν λόγω όριο είναι το ίδιο με το $\displaystyle{ lim_n 2^n \sqrt{2(1-cos(\frac{\pi}{2^{n+1}}))}}$ και θέτοντας $x=2^{1-n}$ και με χρηση dlh και βασικών ορίων

Βγάζω ότι $lim_n 2^n \sqrt{2(1-cos(\frac{\pi}{2^{n+1}}))} =\frac{\sqrt2 \pi}{4}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

dr.tasos έγραψε: $\sqrt{2+\sqrt{2+{\sqrt{2+{\sqrt{2+ ... +\sqrt{2} }} } } } }$ αυτό έχει ριζικά απο την υπόθεση με άλλα λόγια έχω την ακολουθία

$x_{n+1}=\sqrt{2+x_n} , \quad x_1=\sqrt{2}$

Βγάζω $0 < x_n \leq 2$ και κάνω τον μετασχηματισμό $y_n=\frac{x_n}{2}$ και μετά για κάποιους στο $[0,\frac{\pi}{2}]$

Μετά απο λίγες πράξεις θα βγει ότι $x_n=2cos(\frac{\pi}{2^{n+1}})$

Οπότε το εν λόγω όριο είναι το ίδιο με το $\displaystyle{ lim_n 2^n \sqrt{2(1-cos(\frac{\pi}{2^{n+1}}))}}$ και θέτοντας $x=2^{1-n}$ και με χρηση dlh και βασικών ορίων

Βγάζω ότι $lim_n 2^n \sqrt{2(1-cos(\frac{\pi}{2^{n+1}}))} =\frac{\sqrt2 \pi}{4}$

Ακολουθώντας το παραπάνω κάνοντας σωστά τις πράξεις βγαίνει ότι η παράσταση είναι

$2^{n+1}\sin \frac{\pi }{2^{n+1}}$

που προφανώς συγκλίνει στο $\pi$

dr.tasos · #4

Έχετε δίκιο ευχαριστώ .

MIPT 2017/2

MIPT 2017/2

Re: MIPT 2017/2

Re: MIPT 2017/2

Re: MIPT 2017/2

Μέλη σε σύνδεση