Λογαριθμικό με παράμετρο και ... ζήτα

Tolaso J Kos · #1

Έστω $n \in \mathbb{N}$ και ας δηλώσουμε με $\zeta$ τη συνάρτηση ζήτα του Riemann. Δειχθήτω ότι:
$\displaystyle{\int_{0}^{\pi/2} \, \left(\log{\sin{x}}\right)^n\, \tan{x}\, {\rm d}x = (-1)^n\, \frac{ n!\, \zeta(n + 1)}{2^{n + 1}}}$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#2

Tolaso J Kos έγραψε:Δειχθήτω ότι: $\displaystyle{\int_{0}^{\pi/2} \, \left(\log{\sin{x}}\right)^n\, \tan{x}\, {\rm d}x = (-1)^n\, \frac{ n!\, \zeta(n + 1)}{2^{n + 1}}}$

$\displaystyle{\int\limits_0^{\pi /2} {{{\log }^n}\left( {\sin x} \right) \cdot \tan x\;dx} = \frac{1}{{{2^n}}}\int\limits_0^{\pi /2} {\frac{{{{\log }^n}\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right)}}{{\cos x}} \cdot \sin x\;dx} }$ $\displaystyle{\mathop { = = = = = }\limits^{\cos x = y} \frac{1}{{{2^n}}}\int\limits_0^1 {\frac{{{{\log }^n}\left( {1 - {y^2}} \right)}}{y}\;dy} \mathop { = = = }\limits^{{y^2} = w} }$

$\displaystyle{ = \frac{1}{{{2^{n + 1}}}}\int\limits_0^1 {\frac{{{{\log }^n}\left( {1 - w} \right)}}{w}\;dw} \mathop { = = = = }\limits^{1 - w = z} \frac{1}{{{2^{n + 1}}}}\int\limits_0^1 {\frac{{{{\log }^n}z}}{{1 - z}}\;dz} }$ $\displaystyle{ = \frac{1}{{{2^{n + 1}}}}\sum\limits_{k = 0}^\infty {\int\limits_0^1 {{{\log }^n}z \cdot {z^k}\;dz} } = \frac{1}{{{2^{n + 1}}}}\sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}n!}}{{{{\left( {k + 1} \right)}^{n + 1}}}}} = }$

$\displaystyle{ = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}n!}}{{{2^{n + 1}}}}\sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{1}{{{k^{n + 1}}}}} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}n!}}{{{2^{n + 1}}}}\zeta \left( {n + 1} \right)}$

Ο τύπος $\displaystyle{\int\limits_0^1 {{{\log }^n}z \cdot {z^k}\;dz} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}n!}}{{{{\left( {k + 1} \right)}^{n + 1}}}}}$ προκύπτει με εφαρμογή παραγοντικής ολοκλήρωσης $\displaystyle{n+1}$ φορές.

Λογαριθμικό με παράμετρο και ... ζήτα

Λογαριθμικό με παράμετρο και ... ζήτα

Re: Λογαριθμικό με παράμετρο και ... ζήτα

Μέλη σε σύνδεση