∫ ολοκληρωτικού λογισμού

#2

pprime έγραψε: Δευ Αύγ 21, 2017 1:58 am $\displaystyle{\int_0^\infty \frac{e^{-\frac{1}{4}x^2}}{x}\cdot (\int_0^x \frac{\sin t}{t} dt) dx}$

$\displaystyle \int\limits_0^\infty {\frac{{{e^{ - \frac{1}{4}{x^2}}}}}{x}\left( {\int\limits_0^x {\frac{{\sin t}}{t}dt} } \right)dx} = \int\limits_0^\infty {\frac{{{e^{ - \frac{1}{4}{x^2}}}}}{x}\left( {\int\limits_0^x {\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}{t^{2n}}}}{{\left( {2n + 1} \right)!}}} dt} } \right)dx}$ $\displaystyle = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{\left( {2n + 1} \right)!}}\int\limits_0^\infty {\frac{{{e^{ - \frac{1}{4}{x^2}}}}}{x}\left( {\int\limits_0^x {{t^{2n}}dt} } \right)dx} } =$

$\displaystyle = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{\left( {2n + 1} \right)!\left( {2n + 1} \right)}}\int\limits_0^\infty {{e^{ - \frac{1}{4}{x^2}}}{x^{2n}}dx} } \mathop { = = = }\limits^{{x^2} = y}$ $\displaystyle \frac{1}{2}\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{\left( {2n + 1} \right)!\left( {2n + 1} \right)}}\int\limits_0^\infty {{e^{ - \frac{1}{4}y}}{y^{n - \frac{1}{2}}}dy} } \mathop { = = }\limits^{\left\lfloor 1 \right\rfloor }$

$\displaystyle = \frac{1}{2}\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{\left( {2n + 1} \right)!\left( {2n + 1} \right)}} \cdot \Gamma \left( {n + \frac{1}{2}} \right) \cdot {4^{n + \frac{1}{2}}}} =$ $\displaystyle \sqrt \pi + \frac{1}{2}\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{\left( {2n + 1} \right)!\left( {2n + 1} \right)}} \cdot \Gamma \left( {n + \frac{1}{2}} \right) \cdot {4^{n + \frac{1}{2}}}} =$

$\displaystyle = \sqrt \pi + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{\left( {2n + 1} \right)!\left( {2n + 1} \right)}} \cdot \frac{{\Gamma \left( {n + \frac{1}{2}} \right)\Gamma \left( n \right)}}{{\left( {n - 1} \right)!}} \cdot {2^{2n}}} \mathop { = = }\limits^{\left\lfloor 2 \right\rfloor }$ $\displaystyle \sqrt \pi + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{\left( {2n + 1} \right)!\left( {2n + 1} \right)}} \cdot \frac{{\Gamma \left( {2n} \right){2^{1 - 2n}}\sqrt \pi }}{{\left( {n - 1} \right)!}} \cdot {2^{2n}}} =$

$\displaystyle = \sqrt \pi + 2\sqrt \pi \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{\left( {2n + 1} \right)!\left( {2n + 1} \right)}} \cdot \frac{{\left( {2n - 1} \right)! \cdot }}{{\left( {n - 1} \right)!}}} =$ $\displaystyle \sqrt \pi + \sqrt \pi \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{{\left( {2n + 1} \right)}^2} \cdot n!}}} = \sqrt \pi \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{{\left( {2n + 1} \right)}^2} \cdot n!}}}$

όπου χρησιμοποιήθηκαν οι τύποι

$\displaystyle \left\lfloor 1 \right\rfloor :\;\int\limits_0^\infty {{t^a} \cdot {e^{ - b \cdot t}}dt} = \frac{{\Gamma \left( {a + 1} \right)}}{{{b^{a + 1}}}}$ (μετασχηματισμός Laplace) και

$\displaystyle \left\lfloor 2 \right\rfloor :\;\Gamma \left( {n + \frac{1}{2}} \right)\Gamma \left( n \right) = \sqrt \pi \cdot \Gamma \left( {2n} \right) \cdot {2^{1 - 2n}}$ http://mathworld.wolfram.com/GammaFunction.html (σχέση 50)

Πρώτη εναλλακτική συνέχεια :

$\displaystyle \int\limits_0^\infty {\frac{{{e^{ - \frac{1}{4}{x^2}}}}}{x}\left( {\int\limits_0^x {\frac{{\sin t}}{t}dt} } \right)dx} = \sqrt \pi \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{{\left( {2n + 1} \right)}^2} \cdot n!}}} =$ $\displaystyle - \sqrt \pi \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{n!}}\int\limits_0^1 {\log x \cdot {x^{2n}}dx} } = - \sqrt \pi \int\limits_0^1 {\log x \cdot {e^{ - {x^2}}}dx}$
χμ .. δεν βλέπω πως μπορεί να υπολογιστεί συμβατικά το τελευταίο ολοκλήρωμα.

Δεύτερη εναλλακτική συνέχεια, με υπεργεωμετρικές συναρτήσεις:

Η υπεργεωμετρική συνάρτηση ορίζεται ως $\displaystyle {}_{{m_1}}{F_{{m_2}}}\left( {{a_1},{a_2},..,{a_{{m_1}}};{b_1},{b_2},..,{b_{{m_2}}};z} \right) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{{\left( {{a_1}} \right)}_n} \cdot {{\left( {{a_2}} \right)}_n} \cdot .. \cdot {{\left( {{a_{{m_1}}}} \right)}_n} \cdot {z^n}}}{{{{\left( {{b_1}} \right)}_n} \cdot {{\left( {{b_2}} \right)}_n} \cdot .. \cdot {{\left( {{b_{{m_2}}}} \right)}_n} \cdot n!}}}$
και αποτελεί λύση κάποιας μορφής υπεργεωμετρικής Διαφορικής εξίσωσης (δεν είναι του παρόντος).
Ο συμβολισμός $\displaystyle {\left( a \right)_n} = a \cdot \left( {a + 1} \right) \cdot .. \cdot \left( {a + n - 1} \right)$ είναι το σύμβολο του Pochhammer

Τότε $\displaystyle \left( {2n + 1} \right) = \frac{{\left( {2n + 1} \right)!}}{{\left( {2n} \right)!}} = \frac{{\left( {\prod\limits_{k = 1}^n {2k} } \right)\left( {\prod\limits_{k = 0}^n {\left( {2k + 1} \right)} } \right)}}{{\left( {\prod\limits_{k = 1}^n {2k} } \right)\left( {\prod\limits_{k = 1}^n {\left( {2k - 1} \right)} } \right)}} = \frac{{\prod\limits_{k = - 1}^{n - 1} {\left( {2k + 3} \right)} }}{{\prod\limits_{k = 0}^{n - 1} {\left( {2k + 1} \right)} }}$ $\displaystyle = \frac{{\prod\limits_{k = 0}^{n - 1} {\left( {2k + 3} \right)} }}{{\prod\limits_{k = 0}^{n - 1} {\left( {2k + 1} \right)} }} = \frac{{{2^n}\prod\limits_{k = 0}^{n - 1} {\left( {k + \frac{3}{2}} \right)} }}{{{2^n}\prod\limits_{k = 0}^{n - 1} {\left( {k + \frac{1}{2}} \right)} }} = \frac{{{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}_n}}}{{{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}_n}}}$

και τελικά $\displaystyle \int\limits_0^\infty {\frac{{{e^{ - \frac{1}{4}{x^2}}}}}{x}\left( {\int\limits_0^x {\frac{{\sin t}}{t}dt} } \right)dx} = \sqrt \pi \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{{\left( {2n + 1} \right)}^2} \cdot n!}}} =$ $\displaystyle \sqrt \pi \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}_n}{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}_n}{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}_n}{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}_n} \cdot n!}}} = \sqrt \pi \cdot {}_2{F_2}\left( {\frac{1}{2},\frac{1}{2};\frac{3}{2},\frac{3}{2}; - 1} \right)$

Παρεμπιπτόντως $\displaystyle {}_2{F_2}\left( {\frac{1}{2},\frac{1}{2};\frac{3}{2},\frac{3}{2}; - 1} \right) \approx 0.9059404763223629$

Δεν μπορώ να βρω πως μπορούμε να φτάσουμε σε περισσότερο συμβατικό αποτέλεσμα (αν υπάρχει βέβαια).

∫ ολοκληρωτικού λογισμού

∫ ολοκληρωτικού λογισμού

Re: ∫ ολοκληρωτικού λογισμού

Μέλη σε σύνδεση