Ένα γινόμενο!

Tolaso J Kos · #1

Να δειχθεί ότι:
$\displaystyle{\prod_{m=1}^{\infty} \left ( 1-\frac{1}{\left ( 2m+1 \right )^{2}} \right ) = \frac{\pi}{4}}$

#2

Δεν βλέπω το νόημα της ερώτησης αφού είναι άμεσο (πολλαπλασιασμός επί

) από τον τύπο του Wallis που υπάρχει σε όλα τα βιβλία προχωρημένου Απειροστικού Λογισμού. Άλλωστε είναι ειδική περίπτωση του γινομένου του Euler για το $\frac {\sin x}{x}$ , για $x= \frac {\pi}{2}$ .

Βλέπε π.χ. εδώ και εδώ και εδώ

pprime · #3

Tolaso J Kos έγραψε:Να δειχθεί ότι: $\displaystyle{\prod_{m=1}^{\infty} \left ( 1-\frac{1}{\left ( 2m+1 \right )^{2}} \right ) = \frac{\pi}{4}}$

$\displaystyle{\prod\limits_{n=1}^{+\infty }{\left( 1-\frac{1}{\left( 2n+1 \right)^{2}} \right)}=\prod\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{\left( 2n+1 \right)^{2}-1}{\left( 2n+1 \right)^{2}}}=\prod\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{2n}{2n+1}\cdot \frac{2n+2}{2n+1}}=\underset{N\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\prod\limits_{n=1}^{N}{\frac{2n}{2n+1}\cdot \frac{2n+2}{2n+1}}}$

$\displaystyle{=\underset{N\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( 2N \right)!!\cdot 2^{N}\cdot \left( N+1 \right)!}{\left( \left( 2N+1 \right)!! \right)^{2}}=\underset{N\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2^{4N}\cdot \left( N! \right)^{3}\cdot \left( N+1 \right)!}{\left( \left( 2N+1 \right)! \right)^{2}}}$

$\displaystyle{\underbrace{=}_{N!\approx \sqrt{2\pi N}\left( \frac{N}{e} \right)^{N}}\underset{N\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2^{4N}\cdot \left( \sqrt{2\pi N}\left( \frac{N}{e} \right)^{N} \right)^{3}\cdot \sqrt{2\pi \left( N+1 \right)}\left( \frac{N+1}{e} \right)^{N+1}}{\left( \sqrt{2\pi \left( 2N+1 \right)}\left( \frac{2N+1}{e} \right)^{2N+1} \right)^{2}}}$

$\displaystyle{=2\pi e\underset{N\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2^{4N}\cdot N^{3N+\frac{3}{2}}\cdot \left( N+1 \right)^{N+\frac{3}{2}}}{\left( 2N+1 \right)^{4N+3}}}$

$\displaystyle{=2\pi e\underset{N\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \left( \frac{2^{4}N^{3}\cdot \left( N+1 \right)}{\left( 2N+1 \right)^{4}} \right)^{N}\cdot \left( \frac{\sqrt{N}\cdot \sqrt{N+1}}{\sqrt{2N+1}\cdot \sqrt{2N+1}} \right)^{3} \right)}$

$\displaystyle{=2\pi e\underset{N\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \left( \frac{1+\frac{1}{N}}{\left( 1+\frac{1}{2N} \right)^{4}} \right)^{N}\cdot \left( \frac{\sqrt{1+\frac{1}{N}}}{\sqrt{2+\frac{1}{N}}\cdot \sqrt{2+\frac{1}{N}}} \right)^{3} \right)=2\pi e\cdot \frac{1}{e}\left( \frac{\sqrt{1+0}}{\sqrt{2+0}\cdot \sqrt{2+0}} \right)^{3}=\frac{\pi }{4}}$

Ένα γινόμενο!

Ένα γινόμενο!

Re: Ένα γινόμενο!

Re: Ένα γινόμενο!

Μέλη σε σύνδεση