Tricky θεωρία αριθμών

Panagiotis11 · #1

Βρείτε όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων (x,y)

που ικανοποιούν την εξίσωση:

2(x^2+y^2)+x+y=5xy

#2

Φοβήθηκα ότι θα βγαίνει καμιά Pell. Τελικά μπορούμε να παραγοντοποιήσουμε για να πάρουμε:

$\displaystyle (2y - x - 1)(2x-y-1) = 1$

Από εδώ και πέρα τα πράγματα είναι απλά και παίρνουμε τις λύσεις (0,0)

και

.

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #3

Αλλιώς:

Χωρίς βλάβη υποθέτουμε πως $x\geq y$ .

Θέτουμε x=y+k

με

μη αρνητικό.

Αντικαθιστώντας φτάνουμε στην y^2+y(k-2)-2k^2-k=0

Η διακρίνουσα είναι 9k^2+4

και πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο, αφού η εξίσωση έχει ακέραιες λύσεις, επομένως αναγκαστικά k=0

.

Επομένως έχουμε την x=y

και έχουμε την εξίσωση $4x^2+2x=5x^2\Leftrightarrow x^2-2x=0\Leftrightarrow x=0$ ή x=2

.

Επομένως έχουμε τις λύσεις (x, y)=(0, 0), (2, 2)

.

#4

Με την αντικατάσταση x=A+1

και

οι

είναι μη αρνητικοί και η εξίσωση γίνεται

2A^2-5AB+2B^2=-1

ή

Οι αριθμοί 2A-B,2B-A

είναι ομόσημοι με άθροισμα A+B

θετικό.

Άρα 2A-B=2B-A=1

οπότε

και

2nisic · #5

Το βλέπω σάν τρίωνημο και κλείνω την διακρινουσα σε δύο τέλεια τετράγωνο

Tricky θεωρία αριθμών

Tricky θεωρία αριθμών

Re: Tricky θεωρία αριθμών

Re: Tricky θεωρία αριθμών

Re: Tricky θεωρία αριθμών

Re: Tricky θεωρία αριθμών

Μέλη σε σύνδεση