Ημικύκλιο..

Antonis Loutraris · #1

Θεωρούμε ένα ημικύκλιο διαμέτρου AB=2R.

Δείξτε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο M του ημικυκλίου με (MA)>(MB)

με την ιδιότητα
$\displaystyle{(MA)^{5}+(MB)^{5}=20\cdot R^{5}.}$

KARKAR · #2

: ημικύκλιο.png (8.82 KiB) Προβλήθηκε 962 φορές

Είναι λοιπόν MA^2=(x+R)^2+R^2-x^2=2R^2+2Rx

και

. Θεωρώ την συνάρτηση :

$f(x)=(2R^2+2Rx)^{\dfrac{5}{2}}+(2R^2-2Rx)^{\dfrac{5}{2}}-20R^5$ , $x\in [-R,R]$

Είναι : f(R)=12R^5>0

και : $f(\dfrac{R}{2})=(\sqrt{243}-19)R^2<0$

Το θεώρημα Bolzano μας δίνει το ζητούμενο αποτέλεσμα ...

Σημείωση : Με λογισμικό βρίσκουμε ότι $x\simeq 0.64284 R$

#3

Antonis Loutraris έγραψε: Κυρ Οκτ 08, 2017 2:08 am Θεωρούμε ένα ημικύκλιο διαμέτρου
Δείξτε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο M του ημικυκλίου με με την ιδιότητα
$\displaystyle{(MA)^{5}+(MB)^{5}=20\cdot R^{5}.}$

Θεωρούμε το

να κινείται πάνω στο ημικύκλιο αρχίζοντας από το

και καταλήγοντας στο μέσον (κορυφή)

του ημικυκλίου. Σε όλες τις θέσεις (πλην της τελικής

) είναι

.

Η παράσταση $\displaystyle{f(M)= (MA)^{5}+(MB)^{5}}$ είναι συνεχής καθώς $(MB)= \sqrt { 4R^2- (MA)^2}$ , δηλαδή συνεχής εξάρτηση από την (MA)

.

Το ζητούμενο έπεται από Bolzano καθώς f(B) = (2R)^5+0^5= 32R^5 >20R^5

και $F(K) = (R\sqrt 2)^5+ (R\sqrt 2)^5= 8\sqrt 2R^5 < 20R^5$ .

Edit: Τώρα είδα ότι απάντησε ο Θανάσης. Το αφήνω για τις μικροδιαφορές και για το ... παίδεμα που έφαγα διότι μου έπεφτε συνέχεια η σύνδεση στο ιντερνέτ.

Ημικύκλιο..

Ημικύκλιο..

Re: Ημικύκλιο..

Re: Ημικύκλιο..

Μέλη σε σύνδεση