Σύγκλιση σειράς

lefsk · #1

Γεια σας! Έστω $\displaystyle{ (x_{n}) }$ ακολουθία τέτοια ώστε $\displaystyle{ x_{n} > 0, n \in \mathbb{N} }$ . Εξετάστε αν ισχύει πάντα ότι:
$\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty } \frac{x_{n}}{(x_{1}+...+x_{n})^{2}} < + \infty }$

Αν ισχύει αποδείξτε το, αλλιώς φέρτε κάποιο αντιπαράδειγμα.
Υπόδειξη: Μέσω του κριτηρίου σύγκρισης ελέγξτε με μια κατάλληλη τηλεσκοπική σειρά.

Έχω κολλήσει. Καμιά ιδέα; Ευχαριστώ εκ των προτέρων!

#2

Δεν θα δώσω απάντηση. Αλλά
1) αποφάσισε (έστω και διαισθητικά) αν ισχύει ή όχι το ζητούμενο.
2) γράψε μας τι έχεις σκεφτεί ως τώρα...

Υ.Γ. Δεν είναι απαραίτητο να ακολουθούμε πάντοτε την υπόδειξη σε μια άσκηση!

lefsk · #3

Σκέφτηκα κάτι αλλά δεν ξέρω αν είναι καλό. Εμείς έχουμε $\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty } \frac{x_{n}}{s_{n}^{2}} }$ , οπού $\displaystyle{ s_{n} }$ είναι η ακολουθία των μερικών αθροισμάτων της αρχικής σειράς.
Θεωρώ
$\displaystyle{ A_{0} = \left \{ n\in \mathbb{N}:s_{n}<1 \right \} }$
και για $\displaystyle{ k=1,2,3,... }$
$\displaystyle{ A_{k} = \left \{ n\in \mathbb{N}:2^{k-1}\leqslant s_{n}<2^{k} \right \} }$

Αν θέσω $\displaystyle{ u=maxA_{k} }$ έχουμε:

$\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty } \frac{x_{n}}{s_{n}^{2}}= \sum_{n\in A_{0}} \frac{x_{n}}{s_{n}^{2}} + \sum_{k=1}^{\infty }\sum_{n\in A_{k}}\frac{x_{n}}{s_{n}^{2}} \leqslant \sum_{n\in A_{0}} \frac{x_{n}}{s_{n}^{2}} + \sum_{k=1}^{\infty } \frac{1}{2^{(k-1)2}}\sum_{n\in A_{k}}x_{n}\leqslant \sum_{n\in A_{0}} \frac{x_{n}}{s_{n}^{2}} + \sum_{k=1}^{\infty } \frac{s_{u_{k}}}{2^{(k-1)2}}\leqslant \sum_{n\in A_{0}} \frac{x_{n}}{s_{n}^{2}} + \sum_{k=1}^{\infty } \frac{2^{k}}{2^{(k-1)2}} < +\infty }$

Antonis Loutraris · #4

Έχει συζητηθεί στο παρακάτω link:

viewtopic.php?f=61&t=56887

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

lefsk έγραψε: Σάβ Οκτ 21, 2017 9:02 pm Σκέφτηκα κάτι αλλά δεν ξέρω αν είναι καλό. Εμείς έχουμε $\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty } \frac{x_{n}}{s_{n}^{2}} }$ , οπού $\displaystyle{ s_{n} }$ είναι η ακολουθία των μερικών αθροισμάτων της αρχικής σειράς.
Θεωρώ
$\displaystyle{ A_{0} = \left \{ n\in \mathbb{N}:s_{n}<1 \right \} }$
και για $\displaystyle{ k=1,2,3,... }$
$\displaystyle{ A_{k} = \left \{ n\in \mathbb{N}:2^{k-1}\leqslant s_{n}<2^{k} \right \} }$

Αν θέσω $\displaystyle{ u=maxA_{k} }$ έχουμε:

$\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty } \frac{x_{n}}{s_{n}^{2}}= \sum_{n\in A_{0}} \frac{x_{n}}{s_{n}^{2}} + \sum_{k=1}^{\infty }\sum_{n\in A_{k}}\frac{x_{n}}{s_{n}^{2}} \leqslant \sum_{n\in A_{0}} \frac{x_{n}}{s_{n}^{2}} + \sum_{k=1}^{\infty } \frac{1}{2^{(k-1)2}}\sum_{n\in A_{k}}x_{n}\leqslant \sum_{n\in A_{0}} \frac{x_{n}}{s_{n}^{2}} + \sum_{k=1}^{\infty } \frac{s_{u_{k}}}{2^{(k-1)2}}\leqslant \sum_{n\in A_{0}} \frac{x_{n}}{s_{n}^{2}} + \sum_{k=1}^{\infty } \frac{2^{k}}{2^{(k-1)2}} < +\infty }$

Δεν έχεις αποδείξει αυτό που ζητάς. Η σειρά πάντα συγκλίνει.
Εσυ απέδειξες ότι αν $\sum_{n=1}^{\infty }x_{n}$ νσυγκλίνει
τότε συγκλίνει και αυτή που ζητάς.
Βέβαια βρήκες και μια σχέση μεταξύ των αθροισμάτων.

Να σου σημειώσω ότι το κόψιμο σε διαδυκά είναι πολύ ισχυρό εργαλείο.

lefsk · #6

Ναι σωστά. Εγώ πήρα συγκεκριμένη περίπτωση. Σας ευχαριστώ πολύ για τις απαντήσεις και το χρόνο σας! Καλό βράδυ!

Σύγκλιση σειράς

Σύγκλιση σειράς

Re: Σύγκλιση σειράς

Re: Σύγκλιση σειράς

Re: Σύγκλιση σειράς

Re: Σύγκλιση σειράς

Re: Σύγκλιση σειράς

Μέλη σε σύνδεση