Διάστημα κλειστό και φραγμένο

[s.kap]

Φίλες και φίλοι καλημέρα. Ας δούμε και αυτό το θέμα
Έστω ένα μη κενό σύνολο πραγματικών αριθμών, τέτοιο ώστε κάθε συνεχής συνάρτηση έχει σταθερό σημείο (). Τότε το είναι ή μονοσύνολο ή διάστημα της μορφής , δηλαδή διάστημα κλειστό και φραγμένο.

[Demetres]

Θα δείξουμε αρχικά ότι το Α είναι διάστημα.

Ας υποθέσουμε πως δεν είναι διάστημα. Τότε (θεώρημα) δεν είναι συνδεδεμένο, δηλαδή υπάρχει διαμερισμός του Α σε δυο σύνολα Β και Γ τα οποία είναι και τα δύο ανοικτά (στην τοπολογία του Α). Τότε παίρνουμε β στο Β και γ στο Γ και ορίζουμε την συνάρτηση που στέλνει κάθε στοιχείο του Β στο γ και κάθε στοιχείο του Γ στο β. Αυτή είναι συνεχής αφού για κάθε ανοικτό υποσύνολο του Α η αντίστροφη εικόνα του είναι είτε το κενό σύνολο, είτε το Β είτε το Γ είτε το Α και όλα αυτά είναι ανοικτά.

Θα δείξουμε τώρα ότι το Α είναι φραγμένο. Αν όχι, είτε είναι της μορφής και η συνεχής συνάρτησης δεν έχει σταθερό σημείο, είτε είναι της μορφής και η συνεχής συνάρτησης δεν έχει σταθερό σημείο.

Άρα το Α είναι της μορφής ή ή ή και μένει να αποκλείσουμε τα πρώτα τρία. Στην πρώτη και τρίτη περίπτωση κοιτάμε την και στην δεύτερη την για να καταλήξουμε σε άτοπο.

Άρα για κάποια με .

(Αν και δεν το ζητάει η άσκηση, μπορεί να ελεγχθεί ότι κάθε συνεχής συνάρτηση από ένα κλειστό και φραγμένο διάστημα στον εαυτό του έχει σταθερό σημείο.)

[s.kap]

Το έχει δυνατούς λύτες