ΠΡΟΣ ΤΟ Π. Ι.

Α.Κυριακόπουλος · #1

ΠΡΟΣ ΤΟ Π. Ι.

Το αναθεωρημένο βιβλίο Άλγεβρας της Α΄ τάξης του Λυκείου.
Όπως πρέπει να γνωρίζουμε, όταν σε μια μαθηματική θεωρία λέμε ότι θα ορίσουμε έναν όρο, που συνήθως αποδίδεται με ένα σύμβολο, εννοούμε ότι θα του δώσουμε μια έννοια με τη βοήθεια μιας έκφρασης άλλων όρων (της θεωρίας) γνωστών εννοιών.
• Είναι λοιπόν φανερό ότι στον ορισμό ενός όρου δεν πρέπει να χρησιμοποιούμε αυτόν τον ίδιο τον όρο (ούτε κανέναν άλλον όρο συνώνυμο αυτού). Διαφορετικά οδηγούμαστε στον λεγόμενο «φαύλο κύκλο» και λόγω αυτού ένας τέτοιος ορισμός λέμε ότι είναι «φαύλος ορισμούς». ( «Μαθηματική Λογική», Α. Κ. Κυριακόπουλου, , έκδοση 1972, σελίδα 10. Έχει εξαντληθεί). Για παράδειγμα, ο ορισμός: « Πίνακας είναι( ονομάζεται) ο πίνακας που είναι πράσινος» είναι ένας φαύλος ορισμός.
Παρακάτω αναφέρομαι στο αναθεωρημένο βιβλίο Άλγεβρας της Α΄ τάξης του Λυκείου, εδώ:
http://www.pi-schools.gr/content/index. ... 3&c_id=867
1) Στη σελίδα 9, ορίζουν ,μεταξύ των προτάσεων ( ισχυρισμών ), την λογική πράξη: «Αν P, τότε Q», συμβολικά : « $\displaystyle{P \Rightarrow Q}$ », όπου P και Q είναι δύο προτάσεις, ως εξής:
• «Αν P και Q είναι δύο ισχυρισμοί, τέτοιοι ώστε, όταν αληθεύει ο P να αληθεύει και ο Q, τότε λέμε ότι ο P συνεπάγεται τον Q και γράφουμε $\displaystyle{P \Rightarrow Q}$ ».
Στη συνέχεια λένε: Ο ισχυρισμός ( πρόταση) $\displaystyle{P \Rightarrow Q}$ λέγεται συνεπαγωγή και πολλές φορές διαβάζεται: « αν P, τότε Q».
Παρατηρούμε τα εξής:
α) Την πράξη $\displaystyle{P \Rightarrow Q}$ την έχουν ορίσει μόνο στην περίπτωση που οι P και Q είναι αληθείς. Άρα, ουσιαστικά δεν έχουν ορίσει την πράξη $\displaystyle{P \Rightarrow Q}$ , αφού δεν μας λένε για τις άλλες περιπτώσεις πότε η πρόταση αυτή είναι αληθής και πότε είναι ψευδής. Για να ορίσουμε την πρόταση $\displaystyle{P \Rightarrow Q}$ θα πρέπει να ορίσουμε την τιμή αλήθειας της για όλους τους δυνατούς συνδυασμούς των τιμών αληθείας των προτάσεων P και Q.
β) Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό, η έκφραση: « Αν πέσω στη θάλασσα, τότε θα βραχώ», όχι μόνο δεν είναι μια πρόταση αληθής, αλλά δεν έχει κανένα νόημα, αφού ούτε έπεσα στη θάλασσα(P ψευδής), ούτε βράχηκα (Q ψευδής).
γ) Ο παραπάνω ορισμός του βιβλίου αυτού, ουσιαστικά είναι ο εξής:
« Αν ( όταν αληθεύει η πρόταση P αληθεύει και η πρόταση Q), τότε ( λέμε ότι η P συνεπάγεται την Q)». Δηλαδή είναι της μορφής : « αν…,τότε…». Με άλλα λόγια, για να ορίσουν το : «αν…,τότε…» χρησιμοποιούν το «αν…,τότε…»!!! Δυστυχώς ο παραπάνω ορισμός είναι φαύλος.
2) Στο εισαγωγικό κεφάλαιο και στις ερωτήσεις κατανόησης (Α-Ψ)( σελίδα 12), για παράδειγμα, η ερώτηση 1.6 είναι αν είναι αληθείς ή ψευδείς η συνεπαγωγή $\displaystyle{\alpha > 2 \Rightarrow {\alpha ^2} > 4}$ ,για όλους (το υπογραμμίζει) τους πραγματικούς αριθμούς α. Αυτό βέβαια σημαίνει ότι η έκφραση: « $\displaystyle{\alpha > 2 \Rightarrow {\alpha ^2} > 4}$ » έχει νόημα και είναι αληθής ή ψευδής για κάθε πραγματικό αριθμό α. Και εκείνο που ζητάμε είναι να απαντήσουμε αν είναι αληθής για όλους τους πραγματικούς αριθμούς α ή είναι ψευδής για όλους τους πραγματικούς αριθμούς α. Όμως, αν ένας μαθητής βάλει για παράδειγμα α=1, σύμφωνα με τον ορισμό της συνεπαγωγής που έχουν δώσει, η παραπάνω συνεπαγωγή δεν έχει νόημα, αφού η πρόταση 1>2 δεν είναι αληθής . Αν τώρα μας πουν ότι εμείς θεωρούμε μόνο τους πραγματικούς αριθμούς α, για τους οποίους ισχύει α>1, θα τους έλεγα ότι αντιφάσκουν με τον εαυτόν τους, αφού λένε για όλους τους πραγματικούς αριθμούς α. Δεν θα ήθελα να πιστέψω ότι δεν γνωρίζουν τι σημαίνει « για κάθε πραγματικό αριθμό α».
Όμοια και για όλες τις υπόλοιπες ερωτήσεις που έχει εκεί.
3) Στη σελίδα 13 δίνουν την εντύπωση ότι ο Cantor έδωσε τον ορισμό του συνόλου που γράφουν εκεί:
« Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειμένων, που προέρχεται από την εμπειρία μας ή τη διανόησή μας ,είναι καλά ορισμένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο».
Ο Cantor όμως δεν τα έγραψε αυτά σαν ορισμό του συνόλου, αλλά τα έγραψε διευκρινιστικά για την κατανόηση της έννοιας του συνόλου, αφού η έννοια του συνόλου είναι αρχική, δεν ορίζεται. Ο παραπάνω ορισμός είναι προφανώς ένας φαύλος ορισμός, αφού η λέξη «συλλογή» είναι συνώνυμη με τη λέξη «σύνολο». Με άλλα λόγια, ο παραπάνω ορισμός λέει: « Σύνολο είναι κάθε σύνολο αντικειμένων…».
•Δεν ισχυρίζομαι ότι δεν θα έπρεπε να γράψουν αυτά που είπε ο Cantor. Εκείνο που λέω είναι , για να μην περνάνε λανθασμένα μηνύματα στους μαθητές ( και για να μην εκθέτουν τον Cantor!!!), να διευκρινίσουν ότι αυτά δεν αποτελούν ορισμό του συνόλου και ότι η έννοια του συνόλου είναι αρχική, δηλαδή δεν ορίζεται. Στη συνέχεια, θα έπρεπε να διευκρινίσουν τι εννοούν όταν λένε « καλά ορισμένα» και τι εννοούν όταν λένε « διακρίνονται το ένα από το άλλο»( πρέπει να είναι διακεκριμένα ή μπορούν να διακριθούν και με ποιο τρόπο. Και μην σπεύσετε να πείτε ότι:
« Τα στοιχεία ενός συνόλου πρέπει να είναι διακεκριμένα», γιατί θα σας απαντήσω ότι κάνετε μεγάλο λάθος).
Ίσως μου πείτε ότι το βιβλίο απευθύνεται σε μαθητές. Ακριβώς γι' αυτό πρέπει να διευκρινισθούν ορισμένα πράγματα για να μην περάσουν λανθασμένα μηνύματα.
4) Στη σελίδα 24 γράφουν:
• « Για να αποδείξουμε ότι ένας ισχυρισμός( πρόταση) είναι αληθής, μερικές φορές με διαδοχικούς μετασχηματισμούς καταλήγουμε σε ένα λογικά ισοδύναμο ισχυρισμό που είναι αληθής. Έτσι συμπεραίνουμε ότι και ο αρχικός ισχυρισμός είναι αληθής».
Με άλλα λόγια, μας λένε ότι για να αποδείξουμε μια πρόταση ω, ξεκινάμε από την ω και με ισοδυναμίες φτάνουμε σε μια αληθή πρόταση p. Δηλαδή:
$\displaystyle{\omega \Leftrightarrow u \Leftrightarrow t \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow r \Leftrightarrow q \Leftrightarrow p}$ . (1)
Όμως, για την απόδειξη της ω χρειαζόμαστε μόνο τις αντίστροφες συνεπαγωγές , δηλαδή μόνο τα «αρκεί»( όταν λέμε: q, αρκεί p εννοούμε ότι: $\displaystyle{p \Rightarrow q}$ ). Πράγματι, αν αποδείξουμε ότι:
ω αρκεί u, αρκεί t,…, αρκεί q, αρκεί p,
δηλαδή ότι :
$\displaystyle{\omega \Leftarrow u \Leftarrow t \Leftarrow ... \Leftarrow q \Leftarrow p}$ (2)
τότε θα έχουμε αποδείξει ότι: $\displaystyle{p \Rightarrow \omega }$ αληθής και επειδή p αληθής, από τον κανόνα αποσπάσεως ή Modus ponens (Μαθηματική Λογική), συμπεραίνουμε ότι και η ω είναι αληθής ( το ζητούμενο).
Αποδείξαμε λοιπόν την ω χωρίς να χρησιμοποιήσουμε τα « πρέπει» ( όταν λέμε: p πρέπει q, εννοούμε $\displaystyle{p \Rightarrow q}$ ). Δηλαδή, χωρίς να χρησιμοποιήσουμε καμία από τις συνεπαγωγές:
$\displaystyle{\omega \Rightarrow u \Rightarrow t \Rightarrow ... \Rightarrow r \Rightarrow q \Rightarrow p}$ (3)
Και εάν μία ή περισσότερες από τι συνεπαγωγές (3) ισχύουν, τότε δεν θα το σημειώσουμε στη διαδοχή (2); Όχι, γιατί σκοπός μας δεν είναι να αναφέρουμε όλα όσα ισχύουν στα Μαθηματικά, άλλα από αυτά που ισχύουν, εκείνα που χρειάζονται για να κάνουμε την απόδειξη της ω. Διαφορετικά θα έπρεπε να αναφέρουμε και το θεώρημα του Πυθαγόρα! (και όχι μόνο), γιατί η σχέση του με την κατασκευαζόμενη απόδειξη της ω δεν διαφέρει από εκείνη των αντίστροφων αυτών συνεπαγωγών (και στις δύο περιπτώσεις ισχύουν, αλλά δεν χρησιμοποιούνται στην απόδειξη).
Το χειρότερο είναι , όταν, για να αποδείξει ένας την ω , προσπαθεί να κατασκευάσει τη διαδοχή των ισοδυναμιών (1), που μας λένε στο νέο βιβλίο, και συμβεί οι συνεπαγωγές (2) (τα «αρκεί»,που αποτελούν την απόδειξη της ω) να ισχύουν και μία τουλάχιστον από τις συνεπαγωγές (3) ( που είναι άσχετες με την απόδειξη της ω ) δεν ισχύει. Τότε, χωρίς λόγο, δεν θα κάνει την απόδειξη της ω. Για παράδειγμα «Έστω ότι για ένα πραγματικό αριθμό α ισχύουν: -3<α<2. Να αποδείξετε ότι: |2α+3|<7»
Λύση. Ας ακολουθήσουμε τον κανόνα που διατυπώνουν. Έχουμε:
$\displaystyle{\left| {2\alpha + 3} \right| < 7 \Leftrightarrow - 7 < 2\alpha + 3 < 7 \Leftrightarrow - 10 < 2\alpha < 4 \Leftrightarrow - 5 < \alpha < 2}$ (4).
Αλλά οι σχέσεις (4) δεν ισοδυναμούν με καμία αληθή πρόταση, αφού η υπόθεση είναι
-3<α<2. Έτσι λοιπόν ένας μαθητής θα σταματούσε εδώ και δεν θα έκανε την απόδειξη χωρίς κανένα λόγο, αφού για να ισχύει η (4), αρκεί να ισχύει -3<α<2.
Η απόδειξη, αν θέλουμε να ξεκινήσουμε από τη σχέση που θέλουμε να αποδείξουμε, είναι η εξής:
• Για να αποδείξουμε τη ζητούμενη σχέση, αρκεί να αποδείξουμε ότι:
$\displaystyle{ - 7 < 2\alpha + 3 < 7}$ , αρκεί : $\displaystyle{ - 10 < 2\alpha < 4}$ , αρκεί: $\displaystyle{ - 5 < \alpha < 2}$ , που ισχύει αφού -3<α<2.
Γι' αυτό, ο παραπάνω λανθασμένος κανόνας που γράφουν στο βιβλίο αυτό, είναι απαράδεκτος, γιατί περνάει λανθασμένα μηνύματα στους μαθητές.Οι συνεπαγωγές (3), στην απόδειξη της ω, με την κοινή λογική είναι περιττές. Στα μαθηματικά όμως, σύμφωνα με την έννοια της απόδειξης μιας πρότασης, είναι λάθος να τις γράφουμε, έστω και αν ισχύουν.
Αν υπάρχει κάποιος που δεν το καταλαβαίνει, του λέω το εξής: Ας υποθέσουμε ότι σε ένα διαγώνισμα, ένα θέμα είναι:
« Να αποδείξετε ότι αν α είναι ένας πραγματικός θετικός αριθμός, τότε
$\displaystyle{\alpha + \frac{1}{\alpha } \ge 2}$ » (σελίδα 34 του βιβλίου αυτού)
Η λύση που έχουν εκεί, είναι:
$\displaystyle{\alpha + \frac{1}{\alpha } \ge 2 \Leftrightarrow {\alpha ^2} + 1 \ge 2\alpha \Leftrightarrow {\alpha ^2} + 1 - 2\alpha \ge 0 \Leftrightarrow {(\alpha - 1)^2} \ge 0}$ , που ισχύει.
Ας υποθέσουμε τώρα ότι στην απόδειξη αυτή ,κάπου ενδιάμεσα, ένας μαθητής έγραφε το θεώρημα του Πυθαγόρα. Είμαι σίγουρος ότι θα λέγατε ότι έκανε λάθος και θα το διαγράφατε. Όχι γιατί δεν ισχύει, αλλά γιατί δεν έχει καμία σχέση με την απόδειξη που θέλει να κάνει. Για τον ίδιο ακριβώς λόγο, πρέπει να διαγράψετε από την παραπάνω απόδειξη τις δεξιά συνεπαγωγές, αφού και αυτές δεν έχουν καμία σχέση με την απόδειξη που θέλει να κάνει. Η σωστή λοιπόν απόδειξη, αν θέλουμε να ξεκινήσουμε από τη σχέση που θέλουμε να αποδείξουμε, είναι η εξής:
• Για να αποδείξουμε τη ζητούμενη σχέση, αρκεί να αποδείξουμε ότι:
$\displaystyle{{\alpha ^2} + 1 \ge 2\alpha }$ , αρκεί: $\displaystyle{{\alpha ^2} + 1 - 2\alpha \ge 0}$ , αρκεί: $\displaystyle{{(\alpha - 1)^2} \ge 0}$ ,ισχύει.
Σημειώνω ότι τα λάθη αυτά δεν είναι τα μόνα που περιέχει το βιβλίο αυτό.
Σχόλιο .Όλα αυτά τα έχω γράψει και το έχω πει πάρα πολλές φορές. Και δεν θα κουραστώ να τα γράφω και να λέω όσες φορές κι αν χρειαστεί.
5) Παρενέργειες του λανθασμένο ορισμού της συνεπαγωγής. Σε όλες τις ασκήσεις με υποθέσεις, θα πρέπει πρώτα να αποδεικνύουμε ότι υπάρχουν τα μαθηματικά αντικείμενα ( αριθμοί, συναρτήσεις κτλ.) που τις πληρούν, γιατί έτσι μόνον θα είμαστε βέβαιοι ότι είναι αληθείς και επομένως θα έχουν νόημα οι συνεπαγωγές που θα γράψουμε στη λύση ( για παράδειγμα, άσκηση 11, σ.293, Μαθηματικά Κατευθύνσεις, Γ΄ Λυκείου).
Αντώνης Κυριακόπουλος

k-ser · #2

Για πολλά χρόνια προσπαθώ να εκπαιδεύσω τους μαθητές μου στα Μαθηματικά.
Οι περισσότεροι μαθητές μου είναι απόλυτα ικανοποιημένοι από αυτή μου την προσπάθεια.
Θα γράψουν πολύ καλούς βαθμούς στης πανελλήνιες και θα μπουν σε πολύ καλές πανεπιστημιακές σχολές.
Αυτός είναι ένας σημαντικός στόχος για την εκπαίδευση στα Μαθηματικά ενός μαθητή του Λυκείου.
Λογικά θα έπρεπε να είμαι ικανοποιημένος από την επίτευξη αυτού του στόχου.
-Δεν είμαι!
Όταν οι μαθητές μου μπορούν να λύνουν δύσκολες διαφορικές εξισώσεις, να "παίζουν στα δάχτυλα" τα θεωρήματα μέσης τιμής,
αλλά
να δυσκολεύονται αφάνταστα να βρουν τρόπο να μ' αποδείξουν ότι "όλα τα αυτοκίνητα δεν έχουν το ίδιο χρώμα",
σκέφτομαι ότι: κάτι δεν έκανα καλά!

Θα έπρεπε να θέσω έναν ακόμα στόχο, ίσως πιο σημαντικό: Να εκπαιδεύσω τους μαθητές μου στα Μαθηματικά κατά τέτοιο τρόπο ώστε να μάθουν - να συνηθίσουν - να σκέφτονται με τους κανόνες που θέτουν τα Μαθηματικά
και αυτό, όχι μόνον για να λύνουν δύσκολα μαθηματικά προβλήματα, αλλά
για να έχουν ένα δυνατό όπλο - το όπλο της Λογικής, της πειθαρχημένης σκέψης απέναντι στα δύσκολα προβλήματα που θα συναντήσουν στη ζωή τους και τα οποία... ελάχιστα ολοκληρώματα χρειάζονται για να λυθούν!

Θα ήθελα όμως μια απλή βοήθεια για την επίτευξη αυτού του, σημαντικού από την γέννηση των Μαθηματικών, στόχου.

Θα ήθελα ένα καλύτερο σχολικό βιβλίο, ή τουλάχιστον, εφόσον είναι εφικτό, την καλυτέρευση του σχολικού βιβλίου.
Θα ήθελα ένα σχολικό βιβλίο που να θέτει τον ίδιο στόχο! (Αλήθεια, ποιοι είναι οι στόχοι που θέτει το σημερινό σχολικό;)
Θεωρώ ότι δεν είναι δύσκολο.

Προσυπογράφω το κείμενο του Αντώνη.

alkinoos · #3

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:Αγαπητέ Γιώργο.
• Η Μαθηματική Λογική έχει τακτοποιηθεί από τον 19ο αιώνα από κορυφαίους μαθηματικούς, οι οποίοι τακτοποίησαν, αναμόρφωσαν και θεμελίωσαν τα μαθηματικά. Τότε «ξεκαθαρίστηκαν» όλες οι έννοιες της Λογικής . Η Λογική και τα Μαθηματικά δεν είναι «μόδα», ώστε άλλα να ισχύουν πέρυσι και αλλά εφέτος. Αν μερικοί νομίζουν ότι ανακαλύπτουν τώρα τη Λογική και ορίζουν τώρα τις διάφορες έννοιες και μάλιστα όπως τις καταλαβαίνουν οι ίδιοι, είναι επικίνδυνοι, γιατί το μόνο που θα πετύχουν είναι να φθάσουν σε αντιφάσεις και να προκαλέσουν σύγχυση στα Μαθηματικά.
• «Απολύτως απαραίτητα στοιχεία Μαθηματικής Λογικής» δεν σημαίνει λανθασμένα στοιχεία Μαθηματικής Λογικής . Μισός ορισμός, σημαίνει λάθος ορισμός. Η ημιμάθεια, ως γνωστόν, είναι χειρότερη από την αμάθεια. Και όταν πρόκειται για Λογική, μην έχεις καμία αμφιβολία, ότι οι αντιφάσεις είναι σίγουρες.
$\displaystyle{ \to }$ Πράγματι. Στο εισαγωγικό κεφάλαιο και στις ερωτήσεις κατανόησης (Α-Ψ), που όπως λες «μπορούν να αξιοποιηθούν όμορφα στην τάξη», η πρώτη ερώτηση είναι αν είναι αληθής ή ψευδής η συνεπαγωγή: $\displaystyle{{\alpha ^2} = 9 \Rightarrow \alpha = 3}$ . για όλους ( το υπογραμμίζει) τους πραγματικούς αριθμούς α. Ξέρεις τι σημαίνει αυτό αγαπητέ Γιώργο; Σημαίνει ότι :
$\displaystyle{ \to }$ Η έκφραση: « $\displaystyle{{\alpha ^2} = 9 \Rightarrow \alpha = 3}$ » έχει νόημα και είναι αληθής ή ψευδής, για κάθε πραγματικό αριθμό α. Και εκείνο που ζητάμε είναι να μάθουμε εάν είναι αληθής για όλους τους πραγματικούς αριθμούς α ή ψευδής για όλους τους πραγματικούς αριθμούς α. Όμως, αν ένας μαθητής βάλει για παράδειγμα α=1, σύμφωνα με τον ορισμό της συνεπαγωγής που έχουν δώσει, η παραπάνω συνεπαγωγή δεν έχει νόημα, αφού η πρόταση 1=9 δεν είναι αληθής . Αν τώρα μας πουν ότι εμείς θεωρούμε μόνο τους πραγματικούς αριθμούς α, για τους οποίους ισχύει $\displaystyle{{a^2} = 9}$ , θα τους έλεγα ότι αντιφάσκουν με τον εαυτόν τους, αφού λένε για όλους τους πραγματικούς αριθμούς α. Δεν θα ήθελα να πιστέψω ότι δεν γνωρίζουν τι σημαίνει « για κάθε πραγματικό αριθμό α» (όμοια και για τις υπόλοιπες ερωτήσεις που έχει εκεί).
• Υπάρχουν και άλλα πολλά ακόμα τρωτά σημεία στο… νέο αυτό βιβλίο.
• Επεκτείνονται στην έννοια της μαθηματικής απόδειξης αλλά με λανθασμένο τρόπο,κεφάλαιο 1, σελίδα 24 ( βλέπε εδώ viewtopic.php?f=67&t=1492 , παράγραφοι 2.3 και 2.4)
• Τις απαραίτητες έννοιες από τη Μαθηματική Λογική ΝΑΙ. Με λανθασμένο τρόπο ΟΧΙ. Ο τρόπος παρουσίασης μιας έννοιας απλουστεύεται μέχρις ενός σημείου. Από κει και κάτω αρχίζουν οι ασάφειες και τα λάθη. Γι' αυτό, για να απλουστεύσει ένας μια έννοια, αν απλουστεύετε, χωρίς να την «καταστρέψει», πρέπει να είναι βαθύς γνώστης της έννοιας αυτής.

κ. Κυριακόπουλε. Τα παραπάνω τα έχετε γράψει σε ένα μήνυμά σας, απαντώντας σε ένα μήνυμα του κ. Ρίζου. Θα ήθελα να σας πω ότι συμφωνώ απόλυτα με αυτά που γράφετε.
Αυτοί, όπως γράφετε και εσείς, νομίζουν ότι ανακαλύπτουν τώρα τη Λογική και προσπαθούν να ορίσουν τις διάφορες έννοιες όπως τις καταλαβαίνουν αυτοί!!!
Έχω όμως μια απορία. Τόσο δύσκολο είναι να βρεθούν δύο άνθρωποι που να έχουν ασχοληθεί και να ξέρουν αυτά τα πράγματα, ώστε να τα γράψουν σωστά και κατανοητά; Προκειμένου να τα γράψουν λάθος, ας μην τα γράψουν καθόλου.
Με εκτίμηση,

ΠΡΟΣ ΤΟ Π. Ι.

ΠΡΟΣ ΤΟ Π. Ι.

Re: ΠΡΟΣ ΤΟ Π. Ι.

Re: ΠΡΟΣ ΤΟ Π. Ι.

Μέλη σε σύνδεση