Παραγοντοποίηση και εξίσωση

#1

Αφού παραγοντοποιήσετε την παράσταση $\displaystyle P(x) = {({x^2} + 2x - 2)^2} - 9{x^2} - 8x + 16,$

να λύσετε την εξίσωση P(x)=0.

Tolaso J Kos · #2

george visvikis έγραψε: Τετ Νοέμ 15, 2017 12:41 pm Αφού παραγοντοποιήσετε την παράσταση $\displaystyle P(x) = {({x^2} + 2x - 2)^2} - 9{x^2} - 8x + 16,$

να λύσετε την εξίσωση

Κάτι άλλο είναι από πίσω αλλά αδυνατώ να το εντοπίσω αυτή τη στιγμή. Ανοίγουμε το τετράγωνο και κατά συνέπεια το πολυώνυμο ${\rm P}$ γράφεται ως
$\displaystyle{{\rm P} \left ( x \right ) = x^4+4x^3-9x^2-16x + 20}$ Παρατηρούμε πως το

είναι ρίζα του πολυωνύμου. Εύλογο λοιπόν είναι να προσπαθήσουμε να φτιάξουμε έναν παράγοντα της μορφής (x-1)

. Γράφουμε το ${\rm P}$ ως εξής:
$\displaystyle{\begin{aligned} {\rm P} (x) &= x^4+4x^3-9x^2-16x +20 \\ &= x^4 - x^3 +5x^3 - 5x^2 -4x^2 +4x-20x +20\\ &=x^3 \left ( x-1 \right ) + 5x^2 \left ( x-1 \right )-4x\left ( x-1 \right ) -20(x-1) \\ &= \left ( x-1 \right )\left [ x^3+5x^2-4x-20 \right ]\\ &= \left ( x-1 \right ) \left [ x^2 \left ( x+5 \right )-4\left ( x+5 \right ) \right ] \\ &= \left ( x-1 \right )\left ( x+5 \right )\left ( x^2-4 \right ) \\ &=\left ( x-2 \right ) \left ( x-1 \right ) \left ( x+2 \right ) \left ( x+5 \right ) \end{aligned}}$
Άρα οι ρίζες είναι οι $x=-5 \; , \; x =-2 \; , \; x =1 \; , \; x=2$ .

BAGGP93 · #3

Αλλιώς :

$\displaystyle{\begin{aligned}P(x)&=(x^2+2\,x-2)^2-9\,x^2-8\,x+16\\&=[(x^2+2\,x-2)-3\,x]\,[(x^2+2\,x-2)+3\,x]-8\,(x-2)\\&=(x^2-x-2)\,(x^2+5\,x-2)-8\,(x-2)\\&=(x-2)(x+1)(x^2+5\,x-2)-8\,(x-2)\\&=(x-2)\,\left[(x+1)(x^2+5\,x-2)-8\right]\\&=(x-2)\,\left[(x+1)((x+1)^2+3\,(x-1)-8)\right]\\&=(x-2)\,\left[(x+1)^3-2^3+3\,(x+1)\,(x-1)\right]\\&=(x-2)\,\left[(x+1-2)((x+1)^2+2\,(x+1)+4)+3\,(x+1)\,(x-1)\right]\\&=(x-2)\,(x-1)\,((x+1)^2+2\,(x+1)+4)+3\,(x+1))\\&=(x-2)\,(x-1)\,\left[(x+1)^2+5\,(x+1)+4\right]\\&=(x-2)\,(x-1)\,((x+1)+4))((x+1)+1)\\&=(x-2)\,(x-1)\,(x+5)\,(x+2) \end{aligned}}$

#4

Και λίγο διαφορετικά:

$\displaystyle P\left( x \right) = {\left( {{x^2} + 2x - 2} \right)^2} - 9{x^2} - 8x + 16 =$

$\displaystyle = {\left( {{x^2} + 2x - 2} \right)^2} - {x^2} - 8\left( {{x^2} + x - 2} \right) =$

$\displaystyle = \left( {{x^2} + 2x - 2 - x} \right)\left( {{x^2} + 2x - 2 + x} \right) - 8\left( {{x^2} + x - 2} \right) =$

$\displaystyle = \left( {{x^2} + x - 2} \right)\left( {{x^2} + 3x - 2} \right) - 8\left( {{x^2} + x - 2} \right) =$

$\displaystyle = \left( {{x^2} + x - 2} \right)\left( {{x^2} + 3x - 10} \right) =$

$\displaystyle = \left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x + 5} \right)\left( {x - 2} \right).$

Παραγοντοποίηση και εξίσωση

Παραγοντοποίηση και εξίσωση

Re: Παραγοντοποίηση και εξίσωση

Re: Παραγοντοποίηση και εξίσωση

Re: Παραγοντοποίηση και εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση