Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Γ' Γυμνασίου 2017 (Κύπρος)

#1

Πρόβλημα 1

Ίδιο με το

της Β' Γυμνασίου. (Δείτε εδώ.)

Πρόβλημα 2

Αν

$\displaystyle \left(2^{2^5} + 1 \right)\left(2^{2^4} + 1 \right)\left(2^{2^3} + 1 \right)\left(2^{2^2} + 1 \right)\left(2^{2^1} + 1 \right)\left(2^{2^0} + 1 \right)\left(2^{2^0} - 1 \right) = a^a - 1$

να υπολογίσετε το

.

Πρόβλημα 3

Τρεις φίλοι, ο Άρης, ο Ερμής και η Αθηνά πήραν μέρος σε ένα διαγωνισμό Μαθηματικού κουίζ 100

προβλημάτων. Ο Άρης και η Αθηνά έλυσαν σωστά

προβλήματα ο κάθε ένας και ο Ερμής έλυσε σωστά

προβλήματα. Με το τέλος του διαγωνισμού ένα πρόβλημα του κουίζ χαρακτηρίστηκε δύσκολο αν λύθηκε σωστά μόνο από ένα από τους πιο πάνω μαθητές και εύκολο αν λύθηκε σωστά και από τους τρεις. Να βρείτε πόσα περισσότερα ήταν τα δύσκολα προβλήματα από τα εύκολα.

Σημείωση: Η πρόθεση σε αυτό το πρόβλημα ήταν να λέει επιπλέον ότι κάθε πρόβλημα λύθηκε από τουλάχιστον ένα μαθητή.

Πρόβλημα 4

Δίνεται τετράγωνο $AB\Gamma\Delta$ . Τα

και

είναι σημεία των πλευρών $B\Gamma$ και $\Delta\Gamma$ αντίστοιχα,

είναι το σημείο τομής των

και

,

είναι το σημείο τομής των

και $\Delta E$ και $\Lambda$ είναι το σημείο τομής των

και $\Delta E$ . Το τετράπλευρο $AK \Lambda M$ έχει εμβαδόν $26\, \mathrm{cm}^2$ και τα τρίγωνα BEM

και $\Delta KZ$ έχουν εμβαδόν $10\,\mathrm{cm}^2$ και $5\,\mathrm{cm}^2$ αντίστοιχα. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τετραπλεύρου $\Gamma E \Lambda Z$ .

$\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm,scale=1.4] \clip(-0.5196546435601143,-0.5031478227393796) rectangle (4.596737058447321,4.389712202966759); \draw [line width=1pt] (0.,4.)-- (0.,0.); \draw [line width=1pt] (0.,0.)-- (4.,0.); \draw [line width=1pt] (4.,0.)-- (4.,4.); \draw [line width=1pt] (4.,4.)-- (0.,4.); \draw [line width=1pt] (0.,4.)-- (4.,1.); \draw [line width=1pt] (4.,1.)-- (0.,0.); \draw [line width=1pt] (0.,4.)-- (2.3986755748179123,0.); \draw [line width=1pt] (2.3986755748179123,0.)-- (4.,4.); \draw (0,4) node[anchor=south east] {A}; \draw (4,4) node[anchor=south west] {B}; \draw (4,0) node[anchor=north west] {\text{\gr Γ}}; \draw (0,0) node[anchor=north east] {\text{\gr Δ}}; \draw (4,1) node[anchor=west] {E}; \draw (2.3986755748179123,0) node[anchor=north] {Z}; \draw (2,0.5214887484838215) node[anchor=north] {K}; \draw (2.6654402342537633,0.6663600585634408) node[anchor=north west] {\text{\gr Λ}}; \draw (3.076335426522966,1.6) node[anchor=south west] {M}; \draw [fill=white] (0.,4.) circle (1.5pt); \draw [fill=white] (0.,0.) circle (1.5pt); \draw [fill=white] (4.,0.) circle (1.5pt); \draw [fill= white] (4.,4.) circle (1.5pt); \draw [fill= white] (4.,1.) circle (1.5pt); \draw [fill= white] (2.3986755748179123,0.) circle (1.5pt); \draw [fill= white] (2.085954993935286,0.5214887484838215) circle (1.5pt); \draw [fill= white] (2.6654402342537633,0.6663600585634408) circle (1.5pt); \draw [fill= white] (3.076335426522966,1.6927484301077753) circle (1.5pt); \end{tikzpicture}$

#2

Demetres έγραψε: Πέμ Νοέμ 16, 2017 7:58 pm Πρόβλημα 2

Αν

$\displaystyle \left(2^{2^5} + 1 \right)\left(2^{2^4} + 1 \right)\left(2^{2^3} + 1 \right)\left(2^{2^2} + 1 \right)\left(2^{2^1} + 1 \right)\left(2^{2^0} + 1 \right)\left(2^{2^0} - 1 \right) = a^a - 1$

να υπολογίσετε το .

Αρχίζοντας από το τέλος προς την αρχή με συνεχή επανάληψη της ταυτότητας (x+1)(x-1)=x^2-1

έχουμε

$\displaystyle \left(2^{2^5} + 1 \right)\left(2^{2^4} + 1 \right)\left(2^{2^3} + 1 \right)\left(2^{2^2} + 1 \right)\left(2^{2^1} + 1 \right)\left(2^{2^0} + 1 \right)\left(2^{2^0} - 1 \right) =$

$\displaystyle = \left(2^{2^5} + 1 \right)\left(2^{2^4} + 1 \right)\left(2^{2^3} + 1 \right)\left(2^{2^2} + 1 \right)\left(2^{2^1} + 1 \right)\left(2^{2^1} -1 \right) =$

$\displaystyle = \left(2^{2^5} + 1 \right)\left(2^{2^4} + 1 \right)\left(2^{2^3} + 1 \right)\left(2^{2^2} + 1 \right)\left(2^{2^2} - 1 \right)=$

$\displaystyle = \left(2^{2^5} + 1 \right)\left(2^{2^4} + 1 \right)\left(2^{2^3} + 1 \right)\left(2^{2^3} -1 \right)=$

....

$\displaystyle = 2^{2^6} -1 = 2^{64} -1= 16^{16}-1$

Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Γ' Γυμνασίου 2017 (Κύπρος)

Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Γ' Γυμνασίου 2017 (Κύπρος)

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Γ' Γυμνασίου 2017 (Κύπρος)

Μέλη σε σύνδεση