Συνάρτηση 1-1

#1

Με κάποιον συνάδελφο τη συζητούσαμε τηλεφωνικά.

ΑΣΚΗΣΗ

Να αποδείξετε ότι κάθε συνάρτηση

με την ιδιότητα $e^{f(x)}+xf(x) =x\ln x +x$ , $\forall x>0$ είναι 1-1

#2

Θα αποδείξουμε ότι $\displaystyle f\left( x \right) = \ln x$ για κάθε $\displaystyle x > 0.$

Έστω ότι υπήρχε $\displaystyle t > 0$ τέτοιος, ώστε $\displaystyle f\left( t \right) > \ln t.$ Τότε, θα είχαμε ότι:

$\displaystyle \left. {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( t \right) > \ln t \Rightarrow {e^{f\left( t \right)}} > t}\\ {f\left( t \right) > \ln t \Rightarrow tf\left( t \right) > t\ln t} \end{array}} \right\}\mathop \Rightarrow \limits^{\left( + \right)} {e^{f\left( t \right)}} + tf\left( t \right) > t\ln t + t,$

που είναι άτοπο. Όμοια, αν υπήρχε $\displaystyle s > 0$ τέτοιος, ώστε $\displaystyle f\left( s \right) < \ln s$ τότε θα είχαμε ότι:

$\displaystyle \left. {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( s \right) < \ln s \Rightarrow {e^{f\left( s \right)}} < s}\\ {f\left( s \right) < \ln s \Rightarrow sf\left( s \right) < s\ln s} \end{array}} \right\}\mathop \Rightarrow \limits^{\left( + \right)} {e^{f\left( s \right)}} + sf\left( s \right) < s\ln s + s,$

πάλι άτοπο.

dement · #3

Παρατηρούμε ότι, για κάθε $a \in \mathbb{R}$ και $g(x)=x \ln x + ax$ ισχύει ότι το $g^{-1} (x)$ είναι μονοσύνολο για x>0

. Αφού προφανώς $e^{f(x)}>0$ παίρνουμε $f(x_1) = f(x_2) = c \implies x_1 \ln x_1 + (1-c) x_1 = x_2 \ln x_2 + (1-c) x_2 > 0 \implies x_1 = x_2$

#4

emouroukos έγραψε: Πέμ Νοέμ 16, 2017 3:27 pm Θα αποδείξουμε ότι $\displaystyle f\left( x \right) = \ln x$ για κάθε $\displaystyle x > 0.$

Έστω ότι υπήρχε $\displaystyle t > 0$ τέτοιος, ώστε $\displaystyle f\left( t \right) > \ln t.$ Τότε, θα είχαμε ότι:

$\displaystyle \left. {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( t \right) > \ln t \Rightarrow {e^{f\left( t \right)}} > t}\\ {f\left( t \right) > \ln t \Rightarrow tf\left( t \right) > t\ln t} \end{array}} \right\}\mathop \Rightarrow \limits^{\left( + \right)} {e^{f\left( t \right)}} + tf\left( t \right) > t\ln t + t,$

που είναι άτοπο. Όμοια, αν υπήρχε $\displaystyle s > 0$ τέτοιος, ώστε $\displaystyle f\left( s \right) < \ln s$ τότε θα είχαμε ότι:

$\displaystyle \left. {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( s \right) < \ln s \Rightarrow {e^{f\left( s \right)}} < s}\\ {f\left( s \right) < \ln s \Rightarrow sf\left( s \right) < s\ln s} \end{array}} \right\}\mathop \Rightarrow \limits^{\left( + \right)} {e^{f\left( s \right)}} + sf\left( s \right) < s\ln s + s,$

πάλι άτοπο.

Βαγγέλη, αναρωτήθηκα αν μπορούμε να βρούμε τον τύπο της f (στην αρχική έκδοση η άσκηση είχε και ένα -2 στο τέλος της εκφώνησες και το έσβησα), αλλά δεν το επιχείρησα.Σκόπευα μάλιστα να εξετάσω μήπως να την έδινα παραγωγίσιμη, ώστε να γίνει πιο εύκολη. Σε ευχαριστώ πολύ που με γλύτωσες από ...μπελάδες και κάμποσο χρόνο !!!!

#5

Και λίγο διαφορετικά. Θα δείξουμε ότι $f(x)=\ln x$ για κάθε x>0

.
Γράφουμε τη σχέση στη μορφή $\displaystyle e^{f(x)}-e^{\ln x}=x(\ln x-f(x))$ , οπότε αν για κάποιο

ισχύει $b=f(a)\neq \ln a=c$ , τότε
$\displaystyle{\frac{e^b-e^c}{b-c}=-a.}$
Από το θεώρημα μέσης τιμής υπάρχει $\xi$ ανάμεσα στα b,c

ώστε το αριστερό μέλος να ισούται με $e^{\xi}$ , άτοπο.

Εdit: Έγινε διόρθωση στο πρόσημο.

kfd · #6

$\frac{e^{b}-e^{c}}{b-c}=-\alpha$
και $e^{\xi }=-\alpha$
άτοπο, $\alpha >0$

maiksoul · #7

Καλησπέρα .Στο παρακάτω σημείο

dement έγραψε: Πέμ Νοέμ 16, 2017 3:39 pm Παρατηρούμε ότι, για κάθε $a \in \mathbb{R}$ και $g(x)=x \ln x + ax$ ισχύει ότι το $g^{-1} (x)$ είναι μονοσύνολο για .

πως γνωρίζουμε ότι η

είναι αντιστρέψιμη για κάθε $a \in \mathbb{R}$ ; Δημήτρη ,μπορείς λίγο να εξηγήσεις λίγο αναλυτικότερα την σκέψη σου; Ευχαριστώ εκ των προτέρων !

dement · #8

Καλησπέρα Μιχάλη.

Ισχύει ότι η

είναι συνεχής και κυρτή.

(Δεν είναι αντιστρέψιμη για κανένα $a \in \mathbb{R}$ , με το $g^{-1} (x)$ αναφέρομαι απλώς στο σύνολο των αριθμών

με

).

Επίσης, $\displaystyle \lim_{x \to 0} g(x) = 0$ και $\displaystyle \lim_{x \to 0} g'(x) = - \infty$ , ενώ $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} g(x) = \lim_{x \to +\infty} g'(x) = + \infty$ .

Αυτό σημαίνει ότι έχει μοναδικό ελάχιστο $x_{min}$ ( $g (x_{min})$ < 0) και μοναδική ρίζα $x_0 > x_{min}$ . Είναι γνησίως φθίνουσα στο $(0, x_{min})$ με g(x) < 0

για $0 < x \leqslant x_{min}$ και γνησίως αύξουσα στο $(x_{min}, + \infty )$ με f(x) > 0

για

. Έτσι προκύπτει το ζητούμενο.

maiksoul · #9

Πάρα πολύ ωραία σκέψη ! Σε ευχαριστώ πολύ Δημήτρη !

Andreas Panteris · #10

Μία άλλη λύση από το 2ο ΓΕΛ. Ηρακλείου (Ιωάννα Κυρέζη)

${{e}^{f\left( x \right)}}+xf\left( x \right)=x\ln x+x\overset{\left( x>0 \right)}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,\frac{{{e}^{f\left( x \right)}}}{x}+f\left( x \right)=\ln x+1\Leftrightarrow \frac{{{e}^{f\left( x \right)}}}{{{e}^{\ln x}}}+f\left( x \right)=\ln x+1\Leftrightarrow$

${{e}^{f\left( x \right)-\ln x}}+f\left( x \right)-\ln x-1=0$ $\left( 1 \right)$

Θεωρούμε τη συνάρτηση $g\left( x \right)={{e}^{x}}+x-1$ η οποία είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$ άρα και ''1-1''

με $g\left( 0 \right)={{e}^{0}}-1=0$

Η $\left( 1 \right)$ γράφεται:

$g\left( f\left( x \right)-\ln x \right)=g\left( 0 \right)\overset{\left( g:''1-1'' \right)}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,f\left( x \right)-\ln x=0\Leftrightarrow f\left( x \right)=\ln x$

Συνάρτηση 1-1

Συνάρτηση 1-1

Re: Συνάρτηση 1-1

Re: Συνάρτηση 1-1

Re: Συνάρτηση 1-1

Re: Συνάρτηση 1-1

Re: Συνάρτηση 1-1

Re: Συνάρτηση 1-1

Re: Συνάρτηση 1-1

Re: Συνάρτηση 1-1

Re: Συνάρτηση 1-1

Μέλη σε σύνδεση