Συμμετρικό της προβολής

[Eustathia p.]

Σε τρίγωνο , έστω η προβολή του ορθοκέντρου του στη διάμεσο .

Να δειχθεί ότι το συμμετρικό του ως προς τη , ανήκει στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου .

[ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ]

Σε τρίγωνο , έστω η προβολή του ορθοκέντρου του στη διάμεσο .

Να δειχθεί ότι το συμμετρικό του ως προς τη , ανήκει στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου .

Εστω το συμμετρικό του ορθοκέντρου ως προς την που

ως γνωστόν βρίσκεται στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου.

Εστω το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου.

Παίρνουμε την συμμετρική της διαμέσου ως προς την ευθεία που ορίζουν τα
(εννοείται ευθεία)

Εστω ότι αυτή τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο στα .

Οπου τα βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο που ορίζει η

Η είναι παράλληλη της αφού οι και είναι κάθετες και το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου.

Αρα

Επειδή τα στον ίδιο κύκλο θα είναι .

Αρα το είναι η προβολή του στην συμμετρική της διαμέσου.

Το συμμετρικό του ως προς την θα είναι η προβολή του ορθοκέντρου στην διάμεσο.

Το ζητούμενο αποδείχθηκε.

[dement]

Άλλη μία λύση.

trig1.png (34.3 KiB) Προβλήθηκε 746 φορές