Putnam 2017/A2

#1

Έστω ακολουθία πολυωνύμων (Q_n(x))

, ώστε

,

και

$\displaystyle Q_n(x)=\frac{(Q_{n-1}(x))^2-1}{Q_{n-2}(x)}$ για κάθε $n\geqslant 2.$

Να δειχθεί ότι κάθε πολυώνυμο της ακολουθίας έχει ακέραιους συντελεστές.

#2

Από την υπόθεση έχουμε ότι για κάθε ακέραιο $n \ge 2$ ισχύει:

$\displaystyle {Q_n}\left( x \right) = \frac{{{{\left( {{Q_{n - 1}}\left( x \right)} \right)}^2} - 1}}{{{Q_{n - 2}}\left( x \right)}} \Leftrightarrow {Q_n}\left( x \right){Q_{n - 2}}\left( x \right) - {\left( {{Q_{n - 1}}\left( x \right)} \right)^2} = - 1.$

Θέτοντας στην παραπάνω σχέση όπου

το

, βρίσκουμε ότι:

$\displaystyle {Q_{n + 1}}\left( x \right){Q_{n - 1}}\left( x \right) - {\left( {{Q_n}\left( x \right)} \right)^2} = - 1$

για κάθε ακέραιο $n \ge 1$ .

Επομένως, για κάθε ακέραιο $n \ge 2$ ισχύει:

$\displaystyle {Q_n}\left( x \right){Q_{n - 2}}\left( x \right) - {\left( {{Q_{n - 1}}\left( x \right)} \right)^2} = {Q_{n + 1}}\left( x \right){Q_{n - 1}}\left( x \right) - {\left( {{Q_n}\left( x \right)} \right)^2} \Rightarrow$

$\displaystyle \Rightarrow {Q_n}\left( x \right)\left( {{Q_{n + 2}}\left( x \right) + {Q_n}\left( x \right)} \right) = {Q_{n - 1}}\left( x \right)\left( {{Q_{n + 1}}\left( x \right) + {Q_{n - 1}}\left( x \right)} \right) \Rightarrow$

$\displaystyle \Rightarrow \frac{{{Q_{n + 2}}\left( x \right) + {Q_n}\left( x \right)}}{{{Q_{n - 1}}\left( x \right)}} = \frac{{{Q_{n - 1}}\left( x \right) + {Q_{n + 1}}\left( x \right)}}{{{Q_n}\left( x \right)}}.$

Συνεπώς, για κάθε θετικό ακέραιο

είναι:

$\displaystyle \frac{{{Q_{n - 1}}\left( x \right) + {Q_{n + 1}}\left( x \right)}}{{{Q_n}\left( x \right)}} = \frac{{{Q_0}\left( x \right) + {Q_2}\left( x \right)}}{{{Q_1}\left( x \right)}} = \frac{{1 + {x^2} - 1}}{x} = x,$

οπότε

$\displaystyle {Q_{n + 1}}\left( x \right) = x{Q_n}\left( x \right) - {Q_{n - 1}}\left( x \right)$

και άρα, με επαγωγή στο

, προκύπτει ότι το πολυώνυμο $\displaystyle {Q_n}\left( x \right)$ έχει ακέραιους συντελεστές για κάθε θετικό ακέραιο

.

Putnam 2017/A2

Putnam 2017/A2

Re: Putnam 2017/A2

Μέλη σε σύνδεση