Demetres έγραψε: ↑Παρ Δεκ 08, 2017 2:34 pm
Δίνονται διακεκριμένες ευθείες

και

στο επίπεδο. Να δειχθεί ότι οι

και

τέμνονται αν και μόνο αν για κάθε πραγματικό αριθμό

, και κάθε σημείο

εκτός των

και

υπάρχει σημείο

στην

, και

στην

, ώστε
Χάνω κάτι; Οι ασκήσεις στον Putnam είναι πολύ δύσκολες. Πώς ξέφυγε ετούτη που είναι ρουτίνας;
Υπάρχουν διάφορες λύσεις με διανύσματα, αλλά θα δώσω μία με Αναλυτική για να δείξω την ρουτίνα.
α) (Μη παράλληλη περίπτωση). Οι ευθείες είναι

, αντίστοιχα, με

. Ψάχνουμε σημεία

ώστε για δοθέν

να ισχύει

, ισοδύναμα

. Το σύστημα ως προς

που προκύπτει έχει ορίζουσα

. Τελειώσαμε!
β) (Παράλληλες). Εδώ

και, για να μην συμπίπτουν οι ευθείες, είναι

. Ψάχνουμε

ώστε να έχουμε ανισότητα στην

για όλες τις επιλογές των

. Παίρνουμε

. Αν

τότε οι πρώτες συντεταγμένες στα διανύσματα της

είναι διαφορετικές. Αν

, τότε οι δεύτερες συντεταγμένες στα διανύσματα της

είναι διαφορετικές. Σε κάθε περίπτωση, δεν ισχύει η ισότητα στην

.