Ένα μήκος

#1

: Ενα μήκος.png (31.01 KiB) Προβλήθηκε 1293 φορές

Σε κύκλο

φέρνω δύο κάθετες χορδές $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CD$ που τέμνονται στο

.

Αν $AC = 6\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(TBD) = 12$ , να υπολογιστεί το μήκος

.

#2

Doloros έγραψε: Πέμ Δεκ 14, 2017 3:04 pm Ενα μήκος.png

Σε κύκλο φέρνω δύο κάθετες χορδές $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CD$ που τέμνονται στο .

Αν $AC = 6\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(TBD) = 12$ , να υπολογιστεί το μήκος .

Θα χρησιμοποιήσω το παρακάτω θεώρημα:

Τετράπλευρο του οποίου οι διαγώνιοι τέμνονται κάθετα στο σημείο , είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου
α. Η κάθετη από το προς κάθε πλευρά του τετραπλεύρου, διέρχεται από το μέσο της απέναντι πλευράς.
β. Η απόσταση του από κάθε πλευρά του τετραπλεύρου, είναι ίση με το μισό της απέναντι πλευράς.

: Ένα μήκος.png (17.78 KiB) Προβλήθηκε 1255 φορές

$x=\sqrt 7.$ Η λύση στην επόμενη ανάρτηση.

ΥΓ. Όποιος ζητήσει την απόδειξη του θεωρήματος, είμαι στη διάθεσή του.

#3

Doloros έγραψε: Πέμ Δεκ 14, 2017 3:04 pm Ενα μήκος.png

Σε κύκλο φέρνω δύο κάθετες χορδές $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CD$ που τέμνονται στο .

Αν $AC = 6\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(TBD) = 12$ , να υπολογιστεί το μήκος .

Φέρνω την $\displaystyle TH \bot BD$ που τέμνει την

στο

και έστω

η προβολή του

στην

: Το μεγάλο κόλπο.β.png (18.67 KiB) Προβλήθηκε 1215 φορές

Σύμφωνα με το παραπάνω θεώρημα (προηγούμενη δημοσίευση), το

είναι μέσο του

και προφανώς $\displaystyle OM \bot AC.$

Είναι ακόμα $\displaystyle OM = \frac{{BD}}{2} \Leftrightarrow BD = 8$ και $\displaystyle OZ = \frac{{AC}}{2} = 3$

Αλλά, από τη σχέση του εμβαδού, $\displaystyle TH \cdot BD = 24 \Leftrightarrow TH = 3 \Rightarrow TH|| = OZ,$ άρα το OTHZ

είναι ορθογώνιο,

οπότε εύκολα τώρα με Π. Θ στο MOT,

είναι $\boxed{x=\sqrt 7}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

Doloros έγραψε: Πέμ Δεκ 14, 2017 3:04 pm Ενα μήκος.png

Σε κύκλο φέρνω δύο κάθετες χορδές $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CD$ που τέμνονται στο .

Αν $AC = 6\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(TBD) = 12$ , να υπολογιστεί το μήκος .

Έστω $\displaystyle TB = \mu ,CT = \lambda ,TD = \nu$

$\displaystyle \vartriangle EOA \simeq \vartriangle CTB \Rightarrow \frac{\lambda }{3} = \frac{\mu }{4} \Rightarrow \mu = \frac{{4\lambda }}{3}$ .Αλλά $\displaystyle \mu \nu = 24$ άρα $\displaystyle \frac{{4\lambda }}{3} \cdot \nu = 24 \Rightarrow \boxed{\lambda \nu = 18}$

$\displaystyle 25 - {x^2} = \lambda \nu = 18 \Rightarrow {x^2} = 7 \Rightarrow \boxed{x = \sqrt 7 }$

: μήκος.png (27.06 KiB) Προβλήθηκε 1167 φορές

Ένα μήκος

Ένα μήκος

Re: Ένα μήκος

Re: Ένα μήκος

Re: Ένα μήκος

Μέλη σε σύνδεση