Διωνυμικό άθροισμα με δυνάμεις αντιστρόφων ακεραίων

#1

Ένα προβληματάκι, μετά από καιρό, από το τρέχον τεύχος του MATHPROBLEMS για όποιον δεν έχει κάτι καλύτερο να κάνει

Έστω

θετικός ακέραιος και $\displaystyle{S_{n,m}:=\sum_{k=1}^{n}(-1)^k\binom{n}{k}k^{-m}}$ .

Δείξτε ότι:

$\displaystyle{S_{n,1}=-\ln n-\gamma-\frac{1}{2n}+\mathcal O(n^{-2})\qquad n\to+\infty}$ .

$\displaystyle{S_{n,2}=-\frac{\ln^2n}{2}-\gamma\ln n-\frac{\gamma^2}{2}-\frac{\pi^2}{12}-\frac{\ln n}{2n}+\frac{1-\gamma}{2n}+\mathcal O (n^{-2}\ln n)\qquad n\to+\infty}$ ,

Υπάρχουν $a_m,\ldots,a_0\in\mathbb R$ και $b_{m-1},\ldots,b_0\in\mathbb R$ ώστε

$\displaystyle{S_{n,m}=\sum_{k=0}^{m}a_{m-k}\ln^{m-k}n+\sum_{k=0}^{m-1}b_{m-k-1}\frac{\ln^{m-k-1}n}{n}+\mathcal O(n^{-2}\ln^{m-1}n)\qquad n\to+\infty}$

και υπολογίστε τους.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Η προτεινόμενη λύση που έχουμε στείλει χρησιμοποιεί πραγματική ανάλυση, αλλά όπως το βγάλει κανείς.

Λύσεις εδώ

#2

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε: Παρ Δεκ 15, 2017 3:48 pm Έστω θετικός ακέραιος και $\displaystyle{S_{n,m}:=\sum_{k=1}^{n}(-1)^k\binom{n}{k}k^{-m}}$ .

Δείξτε ότι:

$\displaystyle{S_{n,1}=-\ln n-\gamma-\frac{1}{2n}+\mathcal O(n^{-2})\qquad n\to+\infty}$ .
...
Λύσεις εδώ

Αναστάση, άνοιξα το τελευταίο τεύχος στην παραπομπή που δίνεις και δεν βλέπω λύση. Δεν τολμώ να κοιτάξω άλλο τεύχος γιατί
τα pdf κάνουν πάρα πολύ ώρα να κατέβουν στον υπολογιστή μου, οπότε γράφω (μόνο) επιγραμματικά λύση στην πρώτη ερώτηση με φόβο μήπως επαναλαμβάνω την δική σας λύση.

Εύκολα βλέπουμε (το κάνω παρακάτω) ότι η δοθείσα σειρά ισούται με $\displaystyle{- \sum _{k=1}^{n} \frac {1}{k} }$ , οπότε το ζητούμενο έπεται από την στάνταρ απόδειξη/ορισμό του αριθμού $\gamma$ του Euler.

H ισότητα που γράφω έπεται από το γεγονός ότι το δοθέν άθροισμα γράφεται, από το ανάπτυγμα του διωνύμου, ως

$\displaystyle{ \int _0^1 \left ( \frac {(1-x)^n}{x} - \frac {1}{x} \right )\, dx=- \int _0^1 \frac {1-y^n}{1-y}\, dy= }$

$\displaystyle{ =-\int _0^1 \left (\sum _{k=1}^{n} y^{k-1} \right ) \, dy= -\sum _{k=1}^{n} \frac {1}{k} }$

#3

Μιχάλη οι λύσεις δεν έχουν δημοσιευθεί ακόμα. Στο επόμενο τεύχος. Αυτό είναι προτεινόμενο στο τρέχον τεύχος. Απλά δεχόντουσαν λύσεις μέχρι τον Οκτώβριο.

Διωνυμικό άθροισμα με δυνάμεις αντιστρόφων ακεραίων

Διωνυμικό άθροισμα με δυνάμεις αντιστρόφων ακεραίων

Re: Διωνυμικό άθροισμα με δυνάμεις αντιστρόφων ακεραίων

Re: Διωνυμικό άθροισμα με δυνάμεις αντιστρόφων ακεραίων

Μέλη σε σύνδεση