Υπολογισμός ολοκληρώματος

#1

Καλησπέρα σε όλους...
Αρχίζω τη γραφή μου με κώδικα (επιτέλους!) δίνοντας μια ενδιαφέρουσα άσκηση,σχετική με τον υπολογισμό ενός ολοκληρώματος...
Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα:

\displaystyle
\int\limits_0^1 {\sqrt[3]{{2x^3 - 3x^2 - x + 1}}} dx

#2

Xρήστο το υπόρριζο γίνεται $2x^{3}-3x^{2}-x+1=\allowbreak \left( 2x-1\right) \left( x^{2}-x-1\right)$ και αλλάζει πρόσημο στο $\frac{1}{2}$ . Για να παρακάμψουμε το πρόβλημα αυτό θα πρέπει να επαναορίσουμε τον ολοκληρωτέο ως
$f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt[3]{{2{x^3} - 3{x^2} - x + 1}}} & {0 \le x < \frac{1}{2}} \\ {-\sqrt[3]{{ - \left( {2{x^3} - 3{x^2} - x + 1} \right)}}} & {\frac{1}{2} \le x \le 1} \\ \end{array}} \right$
Τότε επειδή μία τριτοβάθμια καμπύλη έχει συμμετρία ως προς το σημείο καμπής της που εδώ είναι στο $\frac{1}{2}$ αναμένεται το ολοκλήρωμα να βγεί 0. Αυτό επιτυχγάνεται τεχνικά γράφοντας
$\int_{0}^{1}f\left( x\right) dx=\int_{0}^{\frac{1}{2}}f\left( x\right) dx+\int_{\frac{1}{2}}^{1}f\left( x\right) dx$
και κάνοντας στο δεύτερο ολοκλήρωμα την αλλαγή $u=x-\frac{1}{2}$ .
Μαυρογιάννης

#3

Kαλησπέρα κύριε Μαυρογιάννη κι ευχαριστώ.Ήταν μια άσκηση του Τ.Αndreescu την οποία αντιμετώπισε με την κλασσική αλλαγή μεταβλητής u=1-x( u=α+β-χ),όντως το βγάζει μηδέν αλλά κι εγώ είχα εντοπίσει αυτήν την αλλαγή προσήμου και με είχανε ζώσει τα φίδια...Τελικα άλλοι μαθηματικοί δε θεωρούν χρήσιμο να λαμβάνουν περιορισμούς σε ρίζες με περιττό δείκτη;;;;Μα ο ορισμός και μόνο μιλάει ''για τη θετική λύση της εξίσωσης % MathType!MTEF!2!1!+-
% feqaeaartrvr0aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8srps0l
% bbf9q8WrFfeuY-Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0-yr0R
% Yxir-Jbba9q8aq0-yq-He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGa
% caGaaeqabaaaamaaaOqaaiaadIhadaahaaWcbeqaaiaad6gaaaGccq
% GH9aqpcaWGHbaaaa!35B7!

\displaystyle
x^n = a

''.

#4

chris_gatos έγραψε:Τελικα άλλοι μαθηματικοί δε θεωρούν χρήσιμο να λαμβάνουν περιορισμούς σε ρίζες με περιττό δείκτη;;;;Μα ο ορισμός και μόνο μιλάει ''για τη θετική λύση της εξίσωσης \displaystyle
x^n = a
''.

Και η δική μου λύση είναι ουσιαστικά όπως του Νίκου, βάσει της
$2x^3-3x^2-x+1 = 2\left(x-\frac{1}{2} \right)\left(\left(x-\frac{1}{2} \right)^2-\frac{5}{4} \right)$

Ο λόγος που γράφω είναι γιατί πραγματικά υπάρχει πρόβλημα
στις περιττές ρίζες αρνητικών, και θέλω να πω την γνώμη μου.

Στα Σχολικά βιβλία έχει καθιερωθεί να μην ορίζουμε την κυβική ρίζα αρνητικού μέσω της λύσης της x^3 = a

. Όποτε χρειαστεί να την γράψουμε, καταφεύγουμε σε "ακροβασία": μείον η κυβική ρίζα του αντιθέτου.

Παραδέχομαι ότι υπάρχουν κάποια παιδαγωγικά πλεονεκτήματα αυτής της επιλογής, αλλά τελικά πιστεύω ότι είναι πολύ περιοριστική που αναιρεί τα όποια πλεονεκτήματα.

Θα προτιμούσα (και έτσι το έκανα στο πάλαι ποτέ βιβλίο Α' τάξης των Πολυκλαδικών Λυκείων που είχα γράψει) να ορίζεται κυβική ρίζα ως η μοναδική λύση της x^3 = a

, ότι και αν είναι το a.

Τα πλεονεκτήματα είναι πολλά.

Π.χ. η $\sqrt[3]{x}$ είναι απλή και ωραία αντίστροφη της αντιστρέψιμης x^3

. Γιατί να την χάσουμε;

Επίσης, αν δεν ορίσουμε κυβική ρίζα αρνητικού τότε η λεία συνάρτηση "αντίστροφη της x^3

", δεν παραγωγίζεται (!) για x < 0. Όμως θα μας ήταν χρήσιμο να την διδάσκαμε, αφού η παράγωγος είναι
$-\frac{1}{3}\sqrt[3]{\frac{1}{x^2}}$ ,
Δηλαδή (εκτός από το 0) έχουμε την κυβική ρίζα θετικού
αριθμού, που ορίζεται μιά χαρά αλλά το πρόβλημα ξεκίνησε από πριν αρχίσουμε να παραγωγίζουμε.

Αυτά τα λίγα.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου.

#5

Πράγματι υπάρχουν συγγραφείς (παλαιότερα περισσότεροι) που χρησιμοποιούν ρίζες με περιττό δείκτη και αρνητικό υπόρριζο. Είναι μία ευκολία που όμως σημαίνει παραίτηση από άλλες ευκολίες όπως οι ιδιότητες των δυνάμεων με ρητό εκθέτη. Ας δούμε το ακόλουθο:
$-2=\root{3}\of{-8}=\left( -8\right) ^{\frac{1}{3}}=\left( -8\right) ^{\frac{2}{6}}=\left( -8\right) ^{2\cdot \frac{1}{6}}=\left( \left( -8\right) ^{2}\right) ^{\frac{1}{6}}=64^{\frac{1}{6}}=\allowbreak 2$
Φαίνεται ότι αν υιοθετήσουμε την σύμβαση $-2=\root{3}\of{-8}$ κάτι θα χάσουμε: ή δεν θα επιτρέψουμε κλασματικούς εκθέτες είτε δεν θα έχουμε την ιδιότητα $\left( a^{\kappa }\right) ^{\lambda }=\allowbreak a^{\kappa \lambda }$ .
Τα σχολικά βιβλία και κατ' επέκτασιν το σύνολο σχεδόν των μαθηματικών σπουδών (λέω σχεδόν διότι δεν ξέρω τι διδάσκει κανείς που) υιοθετούν, και σωστά, την σύμβαση ότι το υπόρριζο θα είναι μη αρνητικό και το αποτέλεσμα της ρίζας θα είναι και αυτό μη αρνητικό με άλλα λόγια (στους μαθητές μου το γράφω σαν πλακάτ):
$\sqrt[\nu ]{\alpha } = x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \alpha \ge 0 \\ x \ge 0 \\ {x^\nu } = \alpha \\ \end{array} \right\}$
Μαυρογιάννης
YΓ 21.45 'Εγραφα και δεν είδα το μήνυμα του Μιχάλη. Ουδεν κακόν...

#6

Eυχαριστώ πολύ κύριε Λάμπρου, για τα φώτα σας. Όμως, συνεχίζω να το θεωρώ ένα σκοτεινό κομμάτι των μαθηματικών και φοβάμαι πως λόγω της ασάφειας που κρύβει, να είναι και ένα πιθανό, πολύ πιθανό θέμα διδακτικής, στον επερχόμενο διαγωνισμό. Όπως και οι προυποθέσεις της ισοδυναμίας μιας ρίζας της μορφής

\displaystyle
\sqrt[n]{{a^m }}
$\displaystyle{ με τη δύναμη$ % MathType!MTEF!2!1!+-
% feqaeaartrvr0aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8srps0l
% bbf9q8WrFfeuY-Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0-yr0R
% Yxir-Jbba9q8aq0-yq-He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGa
% caGaaeqabaaaamaaaOqaaiaadggadaahaaWcbeqaamaalaaabaGaam
% yBaaqaaiaad6gaaaaaaaaa!34AC!
$\displaystyle a^{\frac{m}{n}} }$ ...Δύσκολη περίπτωση θα έλεγα, επαναλαμβάνω, μόνο λόγω της ασάφειας...Χίλια ευχαριστώ ξανά!
Υ.Γ. Κι εγώ γράφοντας δεν είχα δεί το μήνυμα του κυρίου Μαυρογιάννη. Όλως τυχαίως αναφέρεται σε αυτά που είπα κι εγω! Ευχαριστώ κύριε Μαυρογιάννη.

#7

nsmavrogiannis έγραψε: Φαίνεται ότι αν υιοθετήσουμε την σύμβαση $-2=\root{3}\of{-8}$ κάτι θα χάσουμε: ή δεν θα επιτρέψουμε κλασματικούς εκθέτες είτε δεν θα έχουμε την ιδιότητα $\left( a^{\kappa }\right) ^{\lambda }=\allowbreak a^{\kappa \lambda }$ .
Τα σχολικά βιβλία και κατ' επέκτασιν το σύνολο σχεδόν των μαθηματικών σπουδών (λέω σχεδόν διότι δεν ξέρω τι διδάσκει κανείς που) υιοθετούν, και σωστά, την σύμβαση ότι το υπόρριζο θα είναι μη αρνητικό και το αποτέλεσμα της ρίζας θα είναι και αυτό μη αρνητικό

Συμφωνούμε. Αυτά είναι σοβαρά πλεονεκτήματα. Στο πάλαι ποτέ βιβλίο μου, μάλιστα, είχα άσκηση που αναδεικνύει το πρόβλημα.
Όμως, από την άλλη πλευρά, στο σχετικό θεώρημα
$\left( a^{\kappa }\right) ^{\lambda }=\allowbreak a^{\kappa \lambda }$
είχα στις υποθέσεις ότι η υπόριζες ποσότητες πρέπει να είναι θετικές. Τόνιζα δηλαδή
ότι το θεώρημα ισχύει μόνο για θετικούς. Έτσι πιστεύω (ένας Θεός το ξέρει) ότι διόρθωνα την δυσκολία που επιφέρει ο ευρύτερος ορισμός.

Στους φοιτητές, ιδίως όταν κάνουμε Μιγαδική Ανάλυση όπου αργά ή γρήγορα θα ορίσουμε ρίζες ακόμα και για αρνητικούς, πάντα κάνω μια παύση σε αυτό το σημείο: αφιερώνω αρκετό χρόνο για να εξηγήσω ότι "μέχρι τώρα οι αρνητικοί δεν είχαν ρίζες, αλλά ήρθε η ώρα να αλλάξουμε τους κανόνες του παιχνιδιού. Τα πλεονεκτήματα είναι ..." . Στο τέλος όμως πετάω ένα δυό παράδοξα που εγκύπτουν από την αλόγιστη χρήση θεωρημάτων, με αρκετά κρυμμένο το λάθος (και που μπορούν να σε ...τρελάνουν).

Αυτά για τώρα.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

Υπολογισμός ολοκληρώματος

Υπολογισμός ολοκληρώματος

Re: Υπολογισμός ολοκληρώματος

Re: Υπολογισμός ολοκληρώματος

Re: Υπολογισμός ολοκληρώματος

Re: Υπολογισμός ολοκληρώματος

Re: Υπολογισμός ολοκληρώματος

Re: Υπολογισμός ολοκληρώματος

Μέλη σε σύνδεση