Εύρεση αριθμών

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Θεωρούμε τους θετικούς αριθμούς $a_{1},a_{2},.....$

Για κάθε n=1,2,.....

ισχύει ότι

$a_{1}^{3}+a_{2}^{3}+....+a_{n}^{3}=(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})^{2}$

Βρείτε τους αριθμούς.

Ας μείνει δύο μέρες για τους μικρούς στο μάτι.

Συμπλ.Εκανα μια διόρθωση.

Λάμπρος Κατσάπας · #2

Ας θυμηθούμε ότι για κάθε n ισχύει $1^{3}+2^{3}+...+n^{3}=(1+2+...+n)^{2}$ .

Ισχυριζόμαστε ότι $a_{n}=n$ για κάθε

.

Για

έχουμε $a_{1}^{3}=a_{1}^{2}\Rightarrow a_{1}=1.$ Άρα ισχύει ο ισχυρισμός.

Έστω ότι ισχύει για n=1,2,..,k

.

Θα δείξουμε ότι ισχύει για n=k+1

.

$a_{1}^{3}+a_{2}^{3}+...+a_{k}^{3}+a_{k+1}^{3}=(a_{1}+a_{2}+...+a_{k}+a_{k+1})^{2}\Leftrightarrow$

$(a_{1}^{3}+a_{2}^{3}+...+a_{k}^{3})+a_{k+1}^{3}=(a_{1}+a_{2}+...+a_{k})^{2}+a_{k+1}^{2}+2a_{k+1}(a_{1}+a_{2}+...+a_{k})\Leftrightarrow$

$a_{k+1}^{3}=a_{k+1}^{2}+2a_{k+1}(a_{1}+a_{2}+...+a_{k})\Leftrightarrow$

$a_{k+1}^{2}=a_{k+1}+2(a_{1}+a_{2}+...+a_{k})\Leftrightarrow$

$a_{k+1}^{2}-a_{k+1}-2(a_{1}+a_{2}+...+a_{k})=0\Leftrightarrow$

$a_{k+1}^{2}-a_{k+1}-k(k+1)=0\Leftrightarrow$

$a_{k+1}=k+1.$

#3

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: Σάβ Δεκ 23, 2017 11:39 am Έστω ότι ισχύει για .

Θα δείξουμε ότι ισχύει για .

Ωραιότατα.

Ας παρατηρήσουν οι νεαροί μας μαθητές ότι στο παραπάνω βήμα έχουμε την λεγόμενη
"ισχυρή μορφή της Επαγωγής".

Λίγα λόγια γι' αυτήν στο άρθρο μου εδώ.

Μάλιστα η παραπάνω άσκηση είναι λυμένη στο εν λόγω άρθρο, Παράδειγμα 6.5, σελίς 13.

Εύρεση αριθμών

Εύρεση αριθμών

Re: Εύρεση αριθμών

Re: Εύρεση αριθμών

Μέλη σε σύνδεση