Φυσικός αριθμός

M.S.Vovos · #1

Να εξετάσετε αν ο αριθμός $\displaystyle{A=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{15}+4\sqrt{4+\sqrt{15}}}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}}$ είναι φυσικός.

Φιλικά,
Μάριος

#2

Kαλησπέρα.

Ενδιαφέρον. Θα χαρώ να δω και λύσεις με τις γνώσεις της Β΄ Γυμνασίου.

Παρατηρώ ότι $\displaystyle {\left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 5 } \right)^2} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} + {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} + {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} + 2\sqrt 6 + 2\sqrt {10} + 2\sqrt {15} =$

$\displaystyle = 10 + 2\sqrt {15} + 2\left( {\sqrt 6 + \sqrt {10} } \right)$ .

Επίσης $\displaystyle 4\sqrt {4 + \sqrt {15} } = 2\sqrt {16 + 4\sqrt {15} } = 2\sqrt {10 + 6 + 2 \cdot \sqrt {60} } = 2\sqrt {{{\left( {\sqrt {10} + \sqrt 6 } \right)}^2}} = 2\left( {\sqrt {10} + \sqrt 6 } \right)$ .

Οπότε $\displaystyle A = \frac{{\sqrt {10 + 2\sqrt {15} + 4\sqrt {4 + \sqrt {15} } } }}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 5 } \right)}^2}} }}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 5 }} = 1$ που είναι φυσικός.

Tolaso J Kos · #3

Ελαφρώς διαφορετικά από το Γιώργο. .... !!

M.S.Vovos έγραψε: Πέμ Ιαν 04, 2018 8:53 pm Να εξετάσετε αν ο αριθμός $\displaystyle{A=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{15}+4\sqrt{4+\sqrt{15}}}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}}$ είναι φυσικός.

Φιλικά,
Μάριος

Έστω $\mathcal{B}$ ο αριθμητής του κλάσματος. Τότε:
$\displaystyle{\begin{aligned} \mathcal{B} &= \sqrt{10+2\sqrt{15}+4 \sqrt{4+\sqrt{15}}}\\ &= \sqrt{10+2\sqrt{15}+4 \sqrt{\left ( \sqrt{\frac{6}{4}} + \sqrt{\frac{10}{4}} \right )^2}}\\ &=\sqrt{10+2\sqrt{15}+4 \cdot \frac{1}{2}\left ( \sqrt{6}+ \sqrt{10} \right )} \\ &= \sqrt{10+2\sqrt{15}+ 2\left ( \sqrt{6}+\sqrt{10} \right )}\\ &= \sqrt{10+ 2 \left ( \sqrt{15} + \sqrt{6} + \sqrt{10} \right )} \\ &= \sqrt{10 + 2 \left ( \sqrt{3} \cdot \sqrt{5} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} + \sqrt{2}\cdot \sqrt{5} \right )} \\ &=\sqrt{2+3+5+ 2 \left ( \sqrt{3} \cdot \sqrt{5} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{5} \right ) } \\ &=\sqrt{\sqrt{2}^2+\sqrt{3}^2 + \sqrt{5}^2 + 2 \left ( \sqrt{3} \cdot \sqrt{5} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{5} \right ) } \\ &= \sqrt{\left ( \sqrt{2}+\sqrt{3} + \sqrt{5} \right )^2} \\ &= \sqrt{2}+\sqrt{3} + \sqrt{5} \end{aligned}}$ άρα όντως ο αριθμός $\mathcal{A}$ είναι ρητός.

Φυσικός αριθμός

Φυσικός αριθμός

Re: Φυσικός αριθμός

Re: Φυσικός αριθμός

Μέλη σε σύνδεση