Μέγιστη πρόοδος

KARKAR · #1

Να βρεθεί η γεωμετρική πρόοδος , της οποίας οι τρεις πρώτοι όροι είναι ταυτόχρονα

τα μέγιστα των παραστάσεων : $\,\, xy \,\, , \,x+y \, , \,x^2+y^2$ , ( μ'αυτή τη σειρά ) .

#2

Κατόπιν της προσκλήσεως - υπενθυμίσεως από τον Θανάση (ΕΔΩ) επιχειρώ μιαν απάντηση, δίχως να είμαι βέβαιος για τα βήματά μου. Θα χαρώ (ειλικρινά) να δω διορθώσεις, συμπληρώσεις ή άλλη αντιμετώπιση.

Εξάλλου τα έξι (και κάτι) χρόνια που μεσολάβησαν, μάς βεβαιώνουν ότι δεν πρέπει να είναι και τετριμμένη περίπτωση...

Έστω $\displaystyle xy \le a,\;\;\;x + y \le \lambda a,\;\;\;{x^2} + {y^2} \le {\lambda ^2}a$ , με τις μέγιστες τιμές των παραστάσεων να λαμβάνονται ταυτόχρονα.

Για εκείνες τις τιμές των x, y

όπου εμφανίζονται τα μέγιστα των παραστάσεων θα είναι:

$\displaystyle {\left( {x + y} \right)^2} = {x^2} + {y^2} + 2xy \Rightarrow {\lambda ^2}{a^2} = {\lambda ^2}a + 2a \Leftrightarrow {\lambda ^2}\left( {{a^2} - a} \right) = 2a$ (1).

Αν a = 0

, τότε

τετριμμένη περίπτωση.

Αν $a \ne 0$ , είναι $\displaystyle {\lambda ^2}\left( {a - 1} \right) = 2$ , άρα a > 1

.

Για

έχουμε $\displaystyle \lambda = \sqrt {\frac{2}{{a - 1}}}$ ,

οπότε $\displaystyle xy \le a,\;\;\;x + y \le \frac{{\sqrt 2 a}}{{\sqrt {a - 1} }},\;\;\;{x^2} + {y^2} \le \frac{{2a}}{{a - 1}},\;\;a > 1$ .

Για τις μέγιστες τιμές των παραστάσεων, αφού λαμβάνονται ταυτόχρονα, θα ισχύει
$\displaystyle xy = a > 1$ , άρα τα x, y

είναι ομόσημοι.

Για κάθε $x, y \inR$ ισχύει $\displaystyle x + y \ge 2\sqrt {xy}$ , οπότε και για εκείνα τα x, y

όπου εμφανίζονται τα μέγιστα θα είναι $\displaystyle \frac{{\sqrt 2 a}}{{\sqrt {a - 1} }} \ge 2\sqrt a \Leftrightarrow \frac{{2{a^2}}}{{a - 1}} \ge 4a \Leftrightarrow a \le 2$ .

(Ομοίως, $\displaystyle {x^2} + {y^2} \ge 2xy \Leftrightarrow \frac{{2a}}{{a - 1}} \ge 2a \Leftrightarrow \frac{1}{{a - 1}} \ge 1 \Leftrightarrow a - 1 \le 1 \Leftrightarrow a \le 2$ ).

Οι καμπύλες με εξισώσεις $\displaystyle xy = a,\;\;\;x + y = \frac{{\sqrt 2 a}}{{\sqrt {a - 1} }},\;\;\;{x^2} + {y^2} = \frac{{2a}}{{a - 1}},\;\;1 < a \le 2$ διέρχονται ταυτόχρονα από το ίδιο σημείο όταν $\displaystyle x = y = \sqrt 2 \Rightarrow a = 2$ . Τότε η γεωμετρική πρόοδος είναι $\displaystyle 2,\;\;\;2\sqrt 2 ,\;\;\;4$ .

edit: Άλλαξα τη διατύπωση στην τελευταία παράγραφο 20:09.

Μέγιστη πρόοδος

Μέγιστη πρόοδος

Re: Μέγιστη πρόοδος

Μέλη σε σύνδεση